数学分析作业题.doc

《数学分析作业题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、计算题第1题(3.0)分计算#(y4-)dx+(z-f-2)dy4-(x4-3)dz.其〒厶是產痕•2J1_厶围成S方程x2+y2+z2=R2.x+尹+z=0・若从x矩ZE向看出.L是沿逆时针方向运行.解：平面兀+y+z=0的法线方向单位向量为({222。0+厂+厂5/?,依斯托克斯公式得,x+y+z+0,((y+)dx+(z+2)dy+(兀+3)Jz=clydzy+idzdxdz+2dxdydx+3jj-clydz-dzdx-dxdy=-3jjdxdyTT—W第2题(3.0)分设z-ln(w2+v)

2、&dudzdv—=1=dxdudxdvdx亠仏2IT+V+兀)，dzdzdudzdv—+—dydudvQy-—(4加小u~+v+1)第3题(3.0)分试求椭球面斗+音+车1内援最衣长方体的体积.auc解：易知，此内接长方体的六个面必分別平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为d,”z），由对称性可知该长方体的体积为2228xyz,从而问题转化为求函数/（X,y,z）=8兀％在条件二+・+二=1下的erlrc最值问题。设辅助函数为F(Jt,y,z)=叨+屈+音+写一1),0Lx〉0』>0,z>0，则有x=}^+2A—=0tcr＜尺=应+22丄=03b2F=xy+2A4=0,cz

3、779对君T+7T+_cr]yl从中可得出唯一解ClXo=vr,5=古。根据儿何性质不难推知,该椭球面Z内接长方体在第一象限的顶点为（畚鸟詡时达到最大体积V3V3V33V3第4题（3.0）分设D={（x,刃：歹巴0,/+尹2王1,/+尹2-2兀兰0},试求1=[

4、xydxdy的值.D解：利用极朋标变换cosOsin加/广(16cos4。-1)cosOsin&/0916第5题(3.0)分计算$仝空，其中ABCDA为以0),5(0,1),C(-l,0)，D(O-l)^顶点的正方形封闭围线.解：A3段：直线方程y=-x0

5、C段：直线方程y=+x-I0,在(0,0)处的可劉0,x2+b=0解：因为，人(0,0)=lim-/(A-())~/(()?())=limh『八2=0,xtO兀X—>0/；(0,0)=lim/(°’刃一兀°'°)=limyV/>，2=0,-y->

6、0yy->0所以，/(x,y)-/(O,O)=e'[/(x2"y2)=J/+)'gy),严宀严)"2其中仅(x,y)==0,qt(),p=y]x2+y2,Vx2+)“p由此知f(x.y)在(0,0)处可微.第7题(3.0)分计算ixy2dy-x2ydx,其中厶为四分之一•Xx2+尹20')的边界・依逆时针方向.解：设X-acos0y=asin0原式=F(a"cossin2Octcos0+a3cos2&sin0asmdlO712。4第8题(3.0)分d2z护zdx2dxdy解：这里Z是以兀和y为自变量的复合函数，它可写成如下形式Z=/(w,v),U=X.V=—.由复合函数求

7、导法则知ydzdfdudfd^dfIdfdxdudxdvdxduydv于是色=2（型+1斯）二芳/加

8、矿/创

9、1矿/加

10、矿/Qdx~dxduydvdu1dxdudvdxydvdudxdv~dxd2f2dfia2/=T1;T~,dirydudvy_dv"d2fdua2/dvIdfIr62/dud2fdv++—I+du2dydudvdyy2dvydvdudydv2dyXa2/Xd2fdfy~dudv）Fgv2y2第9题(3.0)分求表面积为/,而仕积最丈的长方体的体积.解：设长，宽,高分别为x,y,z，则问题变为求函数V=xyz(x>0,y>0,^>0)的最大值，联系方程为2(卩+〃+切

11、-/=0・设辅助函数为①(x,y,z,2)=xyz+A(2(xy+)送+疋)一Q')，则有①工=>7+几(2y+2z)=o①、=丸+2(2兀+2込)=0①一=小+2(2)，+2x)=0①/={2xy+2)z+2xz)-a~=0解方程组得到x=y=z3因而最大体积为"命.第10题(3.0)分计算iii•于吧,其中7为由平面X=l?x=2・z=0卞X+yy=x.与乙二^已斤围成.解1/在。厂平面上的投影区域为D=(x,y)