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1、2.关于对称轴斤所在直线的反射斤3•关于对称轴r2所在直线的反射厂24•关于对称轴△所在直线的反射$1(3')1(2')婀53(r)2(1’!)高中选修教材《对称与群》和《风险与决策》谈数学10903班周红3-4《对称与群》关于对称与群的内容，其安排是从“对称”到“对称群”再到“群”，它是循序渐进、由浅到深、由易到难的，对于高中生来说，这样的安排是很合理的,“对称”是大家已经熟悉的内容，由此引中到“对称群”，让同学们对“群”有了一定的了解，再扩展到“群”的概念，使大家真正了解什么是群，这符合高屮生的认知过程。但是关于群的内容是
2、有难点的，就是群的抽彖性。那下面就来看看关于《对称与群》的知识的整体框架：首先，“对称”是同学们在初屮就已经学过的知识，再熟悉不过了。我们可以从身边举出很多例子，如正方形、圆、平行四边形、正五边形、桌子、椅子等。其次，看看“对称群”的内容，此处的“对称群”主要是指平面图形的对称群。其定义如下：若S(K)满足以下四条：I.对任意的叫,加2wS(K),加]-m2gS(K)；II.S(K)中存在一个变换I,对任意的mgS(K),有I-m=ml-mIII.对任意的mwS(K),存在变换幷厂"eS(K)，使得m-m~[=I=•m；IV
3、.对任意的,m2,niyeS(K),%-(m2-)=(m3。我们把S(K)连同它的运算称为平面图形K的对称群，记作(S(K),・)。下而以正三角形为例来对对称群进行说明：正三角形的对称群(Q,・)有6个兀素，用图形直观的表示如下:1•恒等变换I1(1')2(2，)3(3')5.以。点为屮心120°的旋转口6.以O点为中心240。的旋转门1(2')1(3')2(1')3(2')2(3')3(F)再次，关于“群”的概念，其定义如下：设非空集合G满足下述四个条件：I.GJL有一个二元运算“・”，即对任意a,bwG,有ci•bwG；I
4、I.G111有单位元/,对任意的ciwG,Ia=a-1=a；III.G屮的每个元素都有逆元，即对任意的awG,存在gwG,使得tIa-a-I-a-a；IV.G的乘法满足结合律，即对任意的a.b.cgG,(o・/?)・c=a•(/?•(?)。则(G,•)称为一个群(Group)o最后，讲述了儿个对称与群的故事，以体现对称与群在现实生活屮的应用，更加能激发同学们对此知识的浓厚兴趣。有这些故事，带饰和面饰、化学分子的对称群、晶体的分类和伽罗瓦理论等。由以上这些内容可以看出，群是以高度抽象的形式给出的，或许它已不像最初的“对称”那么形
5、象直观、生动活泼而富有吸引力，但因为它从事物的结构特征刻画了其本质，因此它的功能非常强大，他不仅是数学屮的一个核心概念，而且在物理、化学、艺术、建筑等领域都有广泛的应用。对于这么抽象的概念，同学们必须反复的思考、领悟、反思、总结，才能逐步领会到其数学思想方法！3-9《风险与决策》风险与决策是大学数学建模的一部分知识，是数学模型屮的一种决策模型，其最大的特点就是有很强的实用性。在高中进行课改Z后，就把这部分内容加入到了屮学数学选修教材屮，供对其有兴趣的同学学习；风险与决策是与现实生活密切和关的内容，容易引起屮学生的兴趣，当他们把
6、这部分知识学好之后，就可以把从风险与决策屮学到的数学思维与方法运用到现实生活屮，这符合了屮学数学的特点之现实背景与形式模型互相统一，也符合了作为科学的数学的特点之广泛的应用性。但是学习风险与决策这部分知识是有一定的难度的，其难点就在于如何“最优决策”，通俗一点说，就是对某件事情作出最好的选择、决定或者是方案。《风险与决策》的主要内容有风险与决策的关系和基本概念、决策树方法、风险型决策的敏感性分析、马尔可夫型决策简介。同学们主要需要掌握的是前三部分内容，因为这三部分内容是基础，第四部分是对马尔可夫型这种决策模型的简单介绍，使同学
7、们通过实例能更加深刻的理解决策模型，并慢慢地学会运用。下面从大体上来看一看《风险与决策》这个专题的前三部分内容内容：1.风险与决策的关系和基本概念我们做任何一件事情都要承担来自各个方面的“风险”，不同方面的“风险”大小不同，从而就有多种选项供我们选择，我们需要选择岀使我们获利最大或损失最小的选项，并作出方案，这个过程就称为选择最优“决策”，即我们的“决策”是依赖于“风险”的。一般来说，风险越大，获利的机会就越大；风险越小,获利的机会就越小。由于人们承担风险的能力是有限的，所以对于大部分人来说,当风险适屮，获利稳定吋，他们是比较
8、容易接受的，而对于少数有魄力、承担风险能力比较大的人来说，他们会作出风险度相对较高的决策。著名的决策有风险型决策，其特点是未来的情况是不确定的，但各种可能状态发生的概率可以估算出来，通常这样的问题可以用三个要素表达出来：状态及其分布列、行动方案和损益函数。这三者的不同都会影响
