离散数学-几种典型代数系统.ppt

《离散数学-几种典型代数系统.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.1半群和独异点一、半群定义5-1设S是一个非空集合，是S上的一个二元运算，如果是可结合的,则称代数系统是半群。例1代数系统和、和、和都是半群，但和不是半群.例2代数系统<2U；∪>和<2U；∩>都半群，例3设S=｛ρ

2、ρ是集合A上的关系｝，对于关系的复合运算可构成代数系统，是半群.。对任意a∈S，定义a1=a(n=1,2,……)并且对于任意正整数m和n，有若F=｛f

3、f:AA｝，则对于函数的复合运算，代数系统也是半群。在独异点

4、中，对任意a∈S,有a0=e()式中的两个等式在独异点中亦成立。二、独异点定义5-2若半群中运算*有单位元，则称为独异点。例4，,，和、和；<2U；∪>和<2U；∩>。例3中的和例6对于半群，N的子集都是的子半群。例7对于半群的任一元素a∈S，令集合,是的子半群。三、子半群和子独异点定义5-3设是一个半群，若是的子代数，则称是的子半群。定义5-4设

5、>是一独异点，若是的子代数，且单位元e∈T，则称是的子独异点。例8对于独异点,子集N2，N3，N4，…它们均不能构成的子独异点，令则，，都是的子独异点。YYYYYN练习5-11．判断下述论断正确与否，在相应的括号中键入“Y”或“N”，（1）在实数集R上定义二元运算为：对于任意的a,b∈Ra*b=a+b+ab(a)是一个代数系统；（）(b)是一个半群；（）（c）是一个独异点。（）(2)在实数集R上定义二

6、元运算为，对任意a,b∈R，ab=

7、a

8、·b(其中·表示通常数的乘法运算)（a）是一个代数系统；（）(b)是一个半群；（）(c)是一个独异点。（）5.2群的定义一、群的定义定义5-5设是一个代数系统，如果运算*是可结合的，存在单位元e，且G中任何元素a都有逆元a-1，则称是一个群。（1）对于任意的a,b,c∈G，有a*(b*c)=(a*b)*c；(2)存在一元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有e*a=a*e=a；(3)对任意a∈G，相应存在一元素a-1∈G，使得a-1*a=a*a-

9、1=e例1和、和不是群。都是群。例2设有Z4=｛0,1,2,3｝，模4的加法运算定义为。构成代数系统。4012301230123123023013012对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b),b+c=4m2+res4(b+c)于是(a4b)4c=res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c)=res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c)a4(b4c)=a4res4(

10、b+c)=res4(a+res4(b+c))=res4(a+(4m2+res4(b+c)))=res4(a+(b+c))=res4（(a+b)+c）0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆元是2。是一个群。因此（a4b）4c=a4(b4c)，即4满足结合律。二、循环群1．群中元素的幂对于任意a∈G，a0=e,(n=0,1,2,…)（a-1)0=e,(n=0,1,2,…)（*）引进记号(n个a-1)因此（）式可表示为对于任意整数和n，下面二式仍然成立。例如因为又例如因为2．循环群定义5-6在群

11、中，如果存在一元素g∈G，使得每一元素a∈G都能表示成gi(i∈I)的形式，则称群为循环群，称g为该循环群的生成元，并称群由g生成。按照群中逆元的表示方法例3群是循环群，1是生成元，10=0，对任意正整数n，n=1+1+…+1，按照群中元素的幂的表示方法n=1n.对任意负整数,例4例2中的群是循环群，因为10=0，11=1，12=1♁41=res4(2)=2,13=12♁41=2♁41=res4(3)=3所以1是其生成元。又30=0，31=3，32=3♁43=res4(6)=2

12、,33=32♁43=2♁43=res4(5)=1所以3也是其生成元。例5设G={a,b,c,e}，*是G上的二元运算，*eabceabcaecbbceacbaeeabca*a=b*b=c*c=e*e=e,a*b=b*a=c,b*c=c*b=a，a*c=c*a=b是一阿贝尔群，但它不是循环群，一般称这个群为K