矩形对角线性质的妙用.doc

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1、矩形对角线性质的妙用我们都熟悉矩形对角线的性质：矩形的对角线相等且互相平分，下面我们来欣赏这一简单性质的妙用．一、利用矩形的对角线相等例1．如图1，点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞cB．a=b=cC．c＞a＞bD．b＞c＞a图1分析：分别作出三个矩形的另一条对角线OM、OD、OA，因为它们是同圆的半径，再由矩形对角线相等，问题就可以解决了．解：连接OM、OD、OA，则OM=OD=OA，又由矩形对角线相等得：OM=NH，OD=EF，OA=B

2、C，所以BC=a=EF=b=NH=c，故选B．点评：本题的线段比较多，图形也较复杂不易梳理，只要牢牢抓住“矩形对角线相等”，问题就可以解决了．二、利用矩形的对角线互相平分图2例2．如图2，已知，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）．分析：本题要求只用无刻度的直尺作出角平分线，图中有矩形，只有借助矩形的性质，这就要抓住矩形对角线的性质．解：连接AB、EF且交于C，作射线OC，则射线OC即为图3C∠AOB的平分线（如图3）．理由如下：因为矩形对角线互相平分，所以CA=CB，又因为OA=OB，OC=OC，所

3、以△AOC≌△BOC，所以∠AOC=∠BOC，即射线OC是∠AOB的平分线．点评：本题构思新颖，设计巧妙，把尺规作图与几何说理结合起来，考查了同学们的综合运用知识解决新问题的能力．图4ADBCEFPOG三、矩形的对角线相等且互相平分例3．如图4，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）A．　　B．　　C．　　D．分析：要求PE+PF的值，立马联想到等腰三角形底上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高的结论，就要用到矩形的对角线的性质．解：连接OP，过D作DG⊥AC于G，在Rt△ACD中

4、，因为AB3，AD4，由勾股定理得：AC=5，再由面积公式得：ADCD=DGAC，所以DG=，由矩形对角线相等得：OA=OD，又因为S△APO+S△DPO=S△AOD，由面积公式得：OAPE+ODPF=OADG，即PE+PF=DG=，故选B．点评：本题虽然是一道简单的选择题，但它考查的知识点比较多，考生必须具有比较扎实的基本功和灵活运用知识的能力才能解决．