计算方法 教学课件 徐士良 第二章.ppt

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1、第2章线性代数方程组与矩阵2.1矩阵的几个定义=称为矩阵元素，其中i称为元素所在的行标，j称为元素所在的列标。如果m=n，矩阵称为方阵一个矩阵的转置是指将原矩阵中的行和列元素进行交换，即=对称矩阵是指满足下列条件的方阵=如果一个矩阵和它的转置相同但符号相反，则称该矩阵为斜对称矩阵。即=-对角矩阵是指只在它的主对角线有非0元素，其他元素都是0.如=单位矩阵是指对角线元素为1的对角矩阵。如=用单位矩阵乘一个矩阵并不改变该矩阵。如果一个矩阵只在它的主对角线和两条邻近的对角线（称为子对角线和次对角线）有非0元素，其它都为0元素，则称为三对角矩阵。例如上三角矩阵在主对角线以下都是0元素。如

2、下三角矩阵在主对角线以上都是0元素。如方阵主对角线上的元素之和称为迹，用符号tr（或sp）表示，即tr=如果矩阵的行列式值非0，则该矩阵是非奇异的，只有非奇异矩阵才有逆矩阵。矩阵与它逆的乘积是单位矩阵，即=矩阵的秩是矩阵内最大非奇异子方阵的阶数。换句话说，秩是矩阵线性独立行或列的最大数目如果矩阵中两行或两列的元素相等，则矩阵的行列式值为0，并且成为奇异。同样，如果两行或列相加（或减）构成另一行或列，则矩阵也成为奇异。2.2解的唯一性当且仅当增广矩阵（aug）的秩与系数矩阵（）的秩相同时，方程组=才有解。如果增广矩阵（aug）的秩与系数矩阵（）的秩相同且等于n（即未知数个数），则解

3、是唯一的；如果它们的秩小于n，则存在无穷多个解。2.3高斯消去法2.3.1高斯消去法的基本原理高斯（Gauss）消去法是求解联立线性代数方程的流行方法，许多算法来自这个方法。这个方法是通过一系列操作实现将增广矩阵简化成上三角矩阵，向量在这个过程中也被修改，由回代过程得到解向量。高斯消去法包括消元与回代两个过程。高斯消去法求解线性代数方程组分为以下两大步。1)将系数矩阵经过一系列的初等行变换变成右上三角矩阵，其常数向量也同时作相应的变换。即在变换过程中采用原地工作，即经变换后的元素仍存放在原来的存储单元中。为了实现上述目标，对于k从0开始直到n-2作以下两步（假设对于任意的k有≠0

4、)：(1)归一化/，j＝k＋1，…，n-1/(2)消元－，i＝k＋1，…，n-1；j＝k＋1，…，n-1－，i＝k＋1，…，n-12)进行回代，依次解出，，…，，。2.3.2选主元为了避免上述高斯消去法中数值计算的不稳定性，一般要在每次归一化之前增加一个选主元的过程，将绝对值最大或较大的元素交换到主元素的位置上。选主元的方法主要有列选主元和全选主元两种。1)列选主元列选主元简称为列主元。列主元的思想是，当变换到第k步时，从第k列的以下（包括）的各元素中选出绝对值最大者，然后通过行变换将它交换到主元素的位置上。在求解线性代数方程组的高斯消去法中，交换系数矩阵中的两行（包括常数向量中

5、的两个对应元素），只相当于交换了两个方程的位置。因此，采用列主元的高斯消去法是不影响求解结果的2)全选主元全选主元简称为全主元。全主元的基本思想是，当变换到第k步时，从系数矩阵的右下角(n－k＋1)阶子阵中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换与列变换将它交换到主元素akk的位置上。在求解线性代数方程组的高斯消去法的变换过程中，虽然行交换不影响最后求解的结果，但列交换将会导致最后结果（即解向量）中对应未知数的次序混乱。即在进行列交换时，相应的两个未知数的次序也被交换了。因此，在使用全主元的高斯消去法时，必须在选主元过程中记住所进行的一切列交换，以便对最后结果进行恢复。将全选主元后的

6、解向量恢复成原线性代数方程组的解向量的原则是：按照求解过程中的每一个列交换信息交换解向量中对应的两个分量；并且，在求解过程中最先进行的列交换最后恢复，而最后进行的列交换最先恢复。全选主元高斯消去法求解线性代数方程组的步骤(1)对于k从0到n－2做以下运算：·全选主元通过行交换和列交换将绝对值最大的元素交换到主元素位置上·系数矩阵归一化/，j＝k＋1，…，n-1·常数向量归一化/·系数矩阵消元－，i＝k＋1，…，n-1；j＝k＋1，…，n-1·常数向量消元－，i＝k＋1，…，n-1(2)进行回代·解出/·回代逐个解出，…，，。即，k＝n－2，…，1，0(3)恢复解向量2.4LU分解

7、将系数矩阵分解成两个矩阵的乘积，即=。其中是主对角线元素为1的下三角矩阵是上三角矩阵LU分解是三角分解的一种方法。此时，如果定义一个新的向量，则方程组=可以化成下列两个方程组：==利用方程组=可以解出，再利用方程组=解出2.4.1系数矩阵的LU分解LU分解的步骤如下对于k从0到n－2做运算/，i＝k＋1，…，n-1－，i＝k＋1，…，n-1；j＝k＋1，…，n-1即最后在原矩阵空间中得到的是下列矩阵+-=2.4.2用LU分解求解方程组方程组的系数矩阵经LU分解后，求解线性代数方程