计算方法 教学课件 徐士良 第一章.ppt

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1、第1章数值计算的误差1.1误差类型模型误差与观测误差方法误差与截断误差舍入误差1.2误差定义1.绝对误差设x为准确值，x*为其近似值。则E(x)＝x－x*称为近似值x*关于准确值x的绝对误差由于准确值x是未知的，因此，无法根据定义准确地计算出某个近似值的绝对误差，而只能根据测量或计算的具体情况估计出误差绝对值的一个范围，也就是估计出

2、E(x)

3、的一个上界。设

4、E(x)

5、＝

6、x－x*

7、≤η则称η为近似值x*关于准确值x的绝对误差限。2.相对误差设x为准确值，x*为其近似值。则称为近似值x*关于准确值x的相

8、对误差。由于准确值x一般是不知道的，因此，相对误差通常又定义为如果则称δ为近似值x*关于准确值x的相对误差限。在实际应用中，就将相对误差限称为相对误差。同样，在本书中，如果没有特殊说明，相对误差即指相对误差限。根据相对误差的定义，相对误差限δ与绝对误差限η之间有如下关系：在工程实际中，一般用百分比来表示相对误差。即1.3有效数字设x为准确值，x*为其近似值。若则称用x*近似表示x时准确到小数点后第k位；并称从小数点之后的第k位数字起直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字；称有效数字的位数为有效数位

9、。设x为准确值，x*为其近似值，且表示成如下形式：x*＝±10m(x1×10－1＋x2×10－2＋…＋xn×10－n)其中x1，x2，…，xn都是0～9十个数字之一，且x1≠0，n是正整数，m是整数。若则称近似值x*具有n位有效数字。1.4数值计算的运算误差在分析运算误差时，通常要考虑以下一些原则。1)两个相近的近似数相减，会严重丢失有效数字。2)除数绝对值较小时，商的绝对误差会增大。3)在运算过程中，必须注意合理安排运算顺序，以便提高运算的精度或保护重要的参数。4)注意计算步骤的简化，减少算术运算的次

10、数。5)“坏条件”函数值的判别。1.5误差的传播与计算不稳定性例1.12计算定积分，n＝0，1，2，…，20可以发现相邻两个积分之间存在以下关系：根据这个关系就可以得到如下递推公式由这个递推公式可以看出，只要知道就可以算出利用牛顿-莱布尼兹公式可以计算出积分的值为＝＝ln(6/5)≈0.182322由以上的分析和归纳，可以得到计算本例中21个积分的递推算法如下：