计算方法 教学课件 徐士良 第三章.ppt

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1、第3章矩阵的特征值与特征向量3.1关于矩阵特征值与特征向量的基本概念在有平凡解的情况下，系数矩阵是非奇异的。如果奇异，则解是非平凡的，但存在无穷多个解，因为的秩小于未知数的个数。一个特殊类型的齐次方程组是=或(-)=其中，是单位矩阵，是数量.如果该齐次方程组的系数行列式满足

2、-

3、=0即=0则该齐次方程组有非平凡解（即≠）。矩阵(-)称为特征矩阵。如果展开这个行列式，可以得到下列形式的多项式方程：=---…-=0这个多项式方程称为方阵的特征方程。它有n个根，它们可以是实根、复根、单根或重根。这些根称为的特征值。对应于每一个，满足齐次方程组的向量（≠）称为特征向量。如果特征向量被

4、一个非零数量乘，其结果仍是特征向量。特征值和特征向量有时称为特征对。一个方阵的特征值之和等于矩阵的迹。即=tr方阵的迹为矩阵对角线元素之和，即tr=各特征值的乘积等于的行列式值。因此=det()一般来说，一个n阶非奇异实对称矩阵有n个单实特征值，它也有n个线性无关的特征向量。某些非对称矩阵也具有单实特征值。对于某些特殊类型的矩阵，其特征值有一些各自的性质。在表中列出了某些特殊类型矩阵的特征值性质矩阵特征值性质n阶实对称，非奇异n个单实特征值奇异矩阵至少一个特征值是0非奇异矩阵所有特征值非0零矩阵所有特征值是0单位矩阵所有特征值是1对角矩阵特征值等于的对角线元素的逆矩阵（即）特

5、征值是特征值的倒数特征向量有以下几个重要性质：(1)对于任何一个方阵，与各单特征值对应的各特征向量是线性无关的。(2)即使特征值不是单的，实对称矩阵有线性无关的特征向量。(3)实对称矩阵的特征向量是实的，它们互相正交且构成一个规格化正交集。确定矩阵特征值和特征向量需要以下三个步骤：(1)构造特征方程；(2)通过求解特征多项式方程确定特征值；(3)确定与特征值对应的特征向量。3.2特征向量的正交性与规格化正交性设n个向量的向量组{，，…，}，如果它们之中任意两个不同向量的数量积（也称为点积）是0，则称该向量组为正交的，即=0，对于所有的i≠j，i,j=0,1,…,(n-1)另外

6、，如果还满足=1，对于所有的i，i=0,1,…,(n-1)则称该向量组为规格化正交的。由于=其中是向量的欧几里得（Euclidean）范数。因此，对于正交向量组{，，…，}来说，当且仅当=1，对于所有的i，i=0,1,…,(n-1)时为规格化正交的。3.3乘幂法设n阶实矩阵的n个特征值为(i＝0，1，…，n-1)，所对应的特征向量为，i＝0，1，…，n-1它们满足=为简单起见，假设矩阵特征值的绝对值按从大到小进行排列，且绝对值最大的特征值是单重的，即

7、

8、＞

9、

10、≥

11、

12、≥…≥

13、

14、可见，求绝对值最大的特征值问题就是求特征值。为此，首先任意取一个异于0的n维初始向量，并假定可以唯一地

15、表示为=其中(i＝0，1，…，n-1)为n个特征向量如果令=，k＝0，1，…则有===…=由此可以得到==()=在用式=进行递推计算过程中，可能会由于各分量的绝对值不断增大而造成运算溢出。因此，有必要对进行规格化。即用=，k＝0，1，…来代替=。其中。显然有从而得到其中==由此可以得到=即由此可以看出，当k足够大时，有并且，或就可以作为与对应的特征向量的近似。同时还可以看出，在迭代过程中，当和中第一个非零分量为同号时，则＞0，即=；否则＜0，即=-可以得出求n阶实矩阵的绝对值最大的特征值与相应的特征向量的迭代过程如下：取n维异于0的初始向量对于k＝0，1，…做如下迭代：=直到

16、为止。此时的就取为绝对值最大的特征值所对应的特征向量。并且，当和中第一个非零分量为同号时，=；否则=-。乘幂法的收敛速度主要取决于

17、/

18、的大小。由前面的讨论可以看出，这个数是小于1的。显然，这个数越小，算法就收敛得越快。但当这个数接近1时，收敛速度是很慢的。为了加快收敛的速度，在实际应用中，往往需要采取加速技术。常用的加速方法有原点位移法。原点位移法的基本思想如下：设为矩阵的特征值，则矩阵的特征值为－。因此，为了求的绝对值最大的特征值，可以适当选取，使－μ是的绝对值最大的特征值，并且使比值

19、(－)/(－)

20、要比

21、/

22、小得多，因而在用乘幂法求矩阵的绝对值最大的特征值时，其收敛速

23、度显著提高。由于用乘幂法可以求矩阵的绝对值最大的特征值及其对应的特征向量，则就可以用收缩的方法来求矩阵的其他特征值。另外，根据逆矩阵的基本概念，如果矩阵的特征值为，，…，，则的为1/，1/，…，1/，因此，用乘幂法也可以求绝对值最小的特征值及其相应的特征向量。3.4求对称矩阵特征值的雅可比方法乘幂法只能计算绝对值最大的特征值与对应的特征向量，而为了求一般实矩阵的全部特征值，还需要用收缩的方法来求矩阵的其他特征值。但如果矩阵是对称矩阵，则可以直接求出它的全部特征值与对应的一组特征向量，雅可比（Jacobi