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1、第五模块平面向量第二十三讲平面向量的概念及线性运算回归课本1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,没有方向的量(如年龄､身高､长度､面积､体积､质量等),称为数量.(3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行(共线).(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为
2、1的向量叫做单位向量.2.向量的线性运算(1)向量加法的定义已知向量a､b,如图,平面内任取一点A,作b,再作则叫做a与b的和,记作a+b.即求两个向量和的运算叫做向量的加法.(2)向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量.(3)向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a､b,作对A､B､D三点不共线,以AB､AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向
3、量是=a+b,这个法则叫做两向量求和的平行四边形法则.(4)向量的减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若则(5)实数与向量积的定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,
4、λa
5、=
6、λ
7、
8、a
9、,当λ>0时,λa与a方向相同;λ<0时,λa与a方向相反;λ=0时,λa=0.(6)向量的加法､减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算.向量加法的交换律表达式为a+b=b+a;向量加法的结合律表达式为(a+b)+c=a+(b+c).若λ,μ为实数,则(λ+μ)a=λa+μaλ(
10、μa)=λμaλ(a+b)=λa+λb.3.向量共线的条件平行向量基本定理:如a=λb,则a∥b,如果a∥b(b≠0),则存在惟一实数λ使a=λb.考点陪练答案:B答案:BA.A､B､C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶点C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角D.△ABC必为等腰直角三角形答案:C答案:D答案:C类型一向量的有关概念解题准备:准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递性,两个向量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关,
11、两个向量方向相同且长度相等,才是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.【典例1】判断下列命题是否正确(1)若
12、a
13、=
14、b
15、,则a=b;(2)若A､B､C､D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)a=b的充要条件是(5)
16、a
17、=
18、b
19、是a=b的必要不充分条件.(6)平行向量就是共线向量;(7)相反向量一定是平行向量;(8)平面内4个不同点A､B､C､D共线的充要条件是存在非零实数k,使得(9)已知a是任一个非零向量,则是一个单位向量.[
20、解](1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同,因此,由
21、a
22、=
23、b
24、不能推出a=b.(2)正确,∵,且又∵A､B､C､D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则且与方向相同,因此(3)正确,∵a=b,∴a､b的长度相等且方向相同.又∵b=c,∴b､c的长度相等且方向相同.∴a､c的长度相等且方向相同,故a=c.(4)不正确,当a∥b且方向相反时,即使
25、a
26、=
27、b
28、也不能得到a=b.故不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.(5)正确,∵
29、a
30、
31、=
32、b
33、⇏a=b,但a=b⇒
34、a
35、=
36、b
37、.∴
38、a
39、=
40、b
41、是a=b的必要不充分条件.(6)正确.不同于平面几何中的平行与共线的概念,向量的平行与共线是同一概念.(7)正确.由相反向量的定义可知(7)正确.(8)不正确.点的共线与向量的共线是不同的概念.(9)正确.由单位向量的定义可知模长为1的向量即为单位向量,而[答案](1)(4)(8)不正确,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正确[反思感悟]熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键.类型二向量的线性运算及应用解题准备:1.向量的加法:(1)定
42、义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法;(2)法则:三角形法则,平行四边形法则;(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法;(2)法则:三角形法则.(3)常用于向量式的化简.3.实数与向量的积:(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:
43、λa
44、=
45、λ
46、
47、a
48、.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.由
