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1、6 应用一元二次方程 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程.1.经历分析和建模的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型.2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.在问题解决的过程中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力.【重点】 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题.【难点】 方程解决实
2、际问题的一般过程.第课时 会分析实际问题中的数量关系,并能够用一元二次方程解决实际问题.经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在.通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问题的能力.【重点】 列一元二次方程解决实际问题.【难点】 理解实际问题中的变化量,寻找正确的等量关系.【教师准备】 预设教学过程中学生可能出现的问题.【学生准备】 复习列一元一次方程解决实际问题的步骤. 导入一:一根长2
3、2cm的铁丝.(1)能否围成面积是30cm2的矩形?(2)能否围成面积是32cm2的矩形?说明理由.分析:如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm,那么矩形的宽是 cm.根据相等关系:矩形的长×矩形的宽＝矩形的面积,可以列出方程: . [设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望.导入二:还记得本章开始时梯子下滑的问题吗(附图)?(1)在这个问题中,梯子顶端下滑1m时,梯子底端滑动的距离大于1m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢?(2)如果梯子的长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m,
4、那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少?分析:如果设梯子顶端下滑的距离为xm,然后根据等量关系:在滑动的过程中梯子的长度不变,列方程求解.在解方程的过程中可用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解方程,但是方程的解必须符合实际意义.[设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望.例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们用一元二次方程来解决一个实际问题.(教材例1)如图所示,某海军基地位于A处,在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向200nmile处有一重
5、要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头.小岛F位于BC的中点,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰,已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1nmile)〔解析〕 题中含有等量关系:DE2＝DF2＋EF2,结合三角形中位线定理求出DF,利用AB＋BE＝2DE表示出EF的长,即可求出DE.解:连接DF,∵AD＝CD,BF＝CF,∴DF是ΔABC的中位线,∴DF∥AB,DF＝1
6、2AB.∵AB⊥BC,AB＝BC＝200nmile,∴DF⊥BC,DF＝100nmile,BF＝100nmile.设相遇时补给船航行了xnmile,那么DE＝xnmile,AB＋BE＝2xnmile,EF＝AB＋BC-(AB＋BE)-CF＝(300-2x)nmile,在RtΔDEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002＋(300-2x)2,整理,得3x2-1200x＋100000＝0.解这个方程,得x1＝200-10063,x2＝200＋10063(不合题意,舍去).∴x＝200-10063≈118.4.答:相遇时补给船大约航行
7、了118.4nmile.[设计意图] 通过例题的讲解,进一步巩固列方程解决实际问题的方法.[知识拓展] 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤:(1)审:审清题意:已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系;(2)设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位;(3)列:列代数式,列方程;(4)解:解所列的方程;(5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意;(6)答:答案必须是完整的语句,注明单位,要贴近生活.列方程解应用题的关键是找出等量关系.所谓的列方程实质上就是把要求的数用一个未知的数(字母)表示,根据题目中提供的条件列
8、出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有未知数),用等于号把这两个代数式连接起来,就得到了方程式.1.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤:(1)审:审清题意:已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系;(2)设:设未知数,
