工程数学 教学课件 作者 周忠荣 等编著第9章 拉普拉斯变换.ppt

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1、第9章拉普拉斯变换本章主要内容拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念；拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯逆变换的几种解法拉普拉斯变换的卷积的性质和卷积定理微分方程的拉氏变换解法；线性系统的传递函数7/23/20211第9章拉普拉斯变换周忠荣编第9章拉普拉斯变换（续）与傅里叶变换相比，拉普拉斯变换对像原函数的要求比较弱，因此拉普拉斯变换比傅里叶变换适用面广。拉普拉斯变换在电学、力学、控制论和电子技术等科学与工程技术领域都有着广泛的应用，并且它还是求解常系数线性微分方程的一种简便方法。7/23/20212第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1拉普

2、拉斯变换的概念本节内容9.1.1拉普拉斯变换的定义9.1.2拉普拉斯变换的存在定理7/23/20213第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1拉普拉斯变换的定义对于任意函数φ(t)，能否经过适当的改造使得改造后的函数能够进行傅氏变换呢？答案是肯定的。用单位阶跃函数u(t)乘φ(t)就将积分区间由(－∞,＋∞)变为(0,＋∞)；再用指数衰减函数e－βt(β＞0)乘φ(t)u(t)，就得到函数φ(t)u(t)e－βt(β＞0)。一般地说，只要β选适当的值，就可以对φ(t)u(t)e－βt进行傅氏变换。7/23/20214第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1（

3、续一）对函数φ(t)u(t)e－βt(β＞0)进行傅氏变换，可得其中s＝β＋iω，f(t)＝φ(t)u(t)7/23/20215第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1（续二）若再设则得7/23/20216第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1（续三）定义9-1设f(t)是定义于t≥0的实变量函数，若广义积分（s是个复参量）在包含s的某个区域内收敛，则由此积分确定的函数称为函数f(x)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记作L[f(t)]，即7/23/20217第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1（续四）(9-1)F(s)也称为f(t)的拉氏变换像函数，f(t

4、)称为F(s)的拉氏逆变换，或F(s)的像原函数，记作L－1[F(s)]，即L－1[F(s)]＝f(t)(9-2)7/23/20218第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1（续五）f(t)(t≥0)的拉氏变换实际上就是f(t)e－βt(β＞0)的傅氏变换。需要指出，在定义9-1中，只要求f(t)在t≥0时有定义，为了研究的方便，以后总假定t＜0时，f(t)≡0。对于任一函数，总是将它乘单位阶跃函数后进行拉氏变换。例如，对sint进行拉氏变换，实际上是对u(t)sint进行拉氏变换，为了书写方便，常简写为f(t)＝sint7/23/20219第9章拉普拉

5、斯变换周忠荣编9.1.1（续六）例9-1求单位阶跃函数的拉氏变换。解7/23/202110第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.1（续七）例9-2求函数f(t)＝eat（a为实常数）的拉氏变换。解7/23/202111第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.2拉普拉斯变换的存在定理定理9-1若函数f(t)满足下列条件：(1)在t≥0的任何有限区间上分段连续；(2)在t→＋∞时，f(t)增长速度不超过某一指数函数，即当t充分大后,存在常数M＞0及c≥0，使得

6、f(t)

7、≤Mect成立。则f(t)的拉氏变换F(s)在半平面Re(s)＞c上一定存在,并且在该半平面

8、内，F(s)为解析函数。7/23/202112第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.2（续一）证明由条件(2)知，一定存在着某个相当大的正数T，使得当t＞T时，不等式

9、f(t)

10、≤Mect成立。由于右端第一个积分是定积分，当然收敛。对于第二个积分，由于其中s＝β＋iω。可见，它在Re(s)＝β＞c的条件下收敛，即有7/23/202113第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.2（续二）续证所以绝对收敛。从而绝对收敛。根据复变函数里的解析函数理论，可知F(s)在Re(s)＞c内是解析的。7/23/202114第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.2（续三）例9-3求

11、斜坡函数f(t)＝at（a为实常数）的拉氏变换。解7/23/202115第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.2（续四）例9-4求正弦函数f(t)＝sinat（a为实常数）的拉氏变换。解7/23/202116第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.1.2（续五）例9-5求单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换。解根据式(9-1)，并利用δ(t)的性质，有7/23/202117第9章拉普拉斯变换周忠荣编9.2拉氏变换的性质线性性质若L[f1(t)]＝F1(s)，L[f2(t)]＝F2(s)，a、b是常数，则有L[af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s)(9-

12、4)L－1[aF1(s)＋bF2(s)]＝af1(t)＋bf2(t)(9-5)该性质表明，各函数线性组合的拉