工程数学 教学课件 作者 周忠荣 等编著第7章 复变函数.ppt

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1、第7章复变函数本章主要内容复数、区域、复变函数、复变函数的极限与连续、复变函数的导数、解析函数、初等函数、复变函数的积分、幂级数、收敛圆、收敛半径、泰勒级数、洛朗级数、孤立奇点、留数等概念复数的代数运算和表示方法、关于模与辐角的定理、方根等基本知识7/21/20211第7章复变函数周忠荣编第7章复变函数（续）复变函数极限与连续的性质解析函数的柯西—黎曼条件、初等函数的解析性复变函数积分的存在定理、计算公式、性质，柯西积分定理阿贝尔定理，函数展开成泰勒级数与洛朗级数的方法函数的零点与极点的关系，留数定理7/21/20212第7章复变函数周忠荣编7.1复数与复变函数本节内容7

2、.1.1复数7.1.2区域7.1.3复变函数7.1.4复变函数的极限与连续7/21/20213第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数复数的概念定义7-1设x和y是两个实数，i为虚数单位，则称z＝x＋iy或z＝x＋yi为复数，其中x和y分别称为z的实部和虚部，记为x＝Re(z)，y＝Im(z)复数z的不同的称谓：（1）当y≠0时，有时也称z为虚数；（2）当y≠0且x＝0时，称z＝iy为纯虚数（3）当y＝0时，称z＝x为实数；7/21/20214第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续一）当且仅当x1＝x2且y1＝y2时，称复数z1＝x1＋iy1与z2＝x2＋iy2相等。特别地

3、，当且仅当x＝y＝0时，z＝0。复数的代数运算复数的四则运算都是按照代数多项式的运算法则进行的。两个复数z1＝x1＋iy1与z2＝x2＋iy2的加法、减法、乘法和除法定义如下：（1）z1±z2＝(x1＋iy1)±(x2＋iy2)＝(x1±x2)＋i(y1±y2)7/21/20215第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续二）（2）z1·z2＝(x1＋iy1)·(x2＋iy2)＝(x1x2－y1y2)＋i(x1y2＋x2y1)（3）容易证明：复数的加法、乘法也满足交换律、结合律；并且复数的乘法对加法具有分配律。7/21/20216第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续三）

4、如果两个复数实部相同而虚部符号相反，则称它们为共轭复数，与z共轭的复数记为，如果z＝x＋iy，那么共轭复数具有如下性质：（1）（2）（3）7/21/20217第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续四）（4）例7-1设z1＝4－3i，z2＝5＋2i，求。解方法一由于z1·z2＝(4－3i)(5＋2i)＝(4×5＋3×2)＋i(4×2－3×5)＝26－7i所以＝26＋7i7/21/20218第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续五）复数的各种表示法(1)点表示法由于任一复数z＝x＋iy都与一对实数x、y一一对应，所以z＝x＋iy可以用平面直角坐标系中坐标为(x,y)的点表

5、示。这时，称x轴为实轴，y轴为虚轴，两轴所在的平面为复平面或z平面。这样，复数与复平面上的点一一对应。7/21/20219第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续六）(2)向量表示法复数z还可以用从原点指向点(x,y)的向量表示，如下图所示。向量的长度称为z的模或绝对值，记为显然，下列各式成立：

6、x

7、≤

8、z

9、，

10、y

11、≤

12、z

13、，

14、z

15、≤

16、x

17、＋

18、y

19、，z＝

20、z

21、2＝

22、z2

23、7/21/202110第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续七）z≠0时，把表示z的向量与x轴的夹角θ称为z的辐角（如上页图所示），记为Argz＝θ。这时，有任何一个不为零的复数都有无穷多个辐角，且它们

24、之间相差2π的整数倍。把满足－π＜θ0≤π的辐角θ0称为Argz的主值，记为argz＝θ0。当z＝0时，

25、z

26、＝0，它的辐角不确定。有时用0≤θ0＜2π。7/21/202111第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续八）当x≠0时，argz与有如下关系：当x＝0且y＞0时，，当x＝0且y＜0时，。7/21/202112第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续九）(3)三角表示法利用直角坐标系与极坐标系的关系可以将复数z＝x＋iy表示为：z＝r(cosθ＋isinθ)(7-1)式(7-1)称为复数的三角表示式。7/21/202113第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续十

27、）(4)指数表示法根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ可将复数z＝r(cosθ＋isinθ)写成如下形式：z＝reiθ(7-2)式(7-2)称为复数z的指数表示式。复数z的各种表示法是可以相互转化的。以后，将根据具体情况选用不同的表示法。7/21/202114第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续十一）例7-2将化为三角表示式和指数表示式。解由于而x＜0且y＞0，所以又因为最后，z的三角表示式为z的指数表示式为7/21/202115第7章复变函数周忠荣编7.1.1复数（续十二）关于模与辐角的定理（1）两个复数的乘积设有两