电磁学中矢量点叉积的积分运算.pdf

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1、2014年第1期物理通报大学物理教学电磁学中矢量点叉积的积分运算秦朝峰(运城学院物理与电子工程系山西运城o4400o)(收稿日期：2o13一O5—02)摘要：电磁学的教学实践中，矢量点叉积的积分运算随处可见，令许多同学望而生畏．为解决这一问题，对电磁学中所涉及的矢量积分进行了归类，发现无非是点积、又积、混合积的积分，并举例说明了积分运算的方法，尤其是引入了右正交标架．关键词：电磁学矢量点叉积积分运算右正交标架在电磁学的教学实践中，师生们经常进行矢量电场能积分的运算，诸如：电场强度w一丢ⅢE·DdVE一『dE—j_去，．磁场能电场

2、力w一丢ⅢH·BdVF=：=一qE磁感应强度高斯定理B=fdB--fI~~E·ds一口(q在高斯面s内)安培力d)D·dS=q(q在高斯面S内F=I~LdlXB安培环路定理电场力做功H．dl：JL曲一rF．df等矢量点积、叉积、混合积的积分形式．高等数学的J口电势教学中只讲过矢量代数的点积、叉积、混合积的公式及矢梯度、散度、旋度、高斯公式、斯托克斯公式等，删并未涉及矢量的微积分运算，导致许多理工科系的动生电动势同学们一遇到矢量微积分就感觉物理难学，很不适E—J．('，×B)·dz应大学物理、电磁学等课程．针对物理教学中的困电通量

3、惑，以电磁学中的内容为例来说明矢量积分的运算．一E·ds1矢量积分的归类及处理磁通量1．1归类一jlB·ds仔细观察不难发现，上述积分抽象为三类：(1)线积分能通量(EXH)·dscx,y,z，岫Xd，一23—2014年第1期物理通报大学物理教学其中dr—dxi+dyj+dzk，a一＆i+ayj+n；I口llbIcos(／；混合积(n×6)·C：absin(a，b)cos(a×b，c)(2)面积分1．3矢量积分公式。t“其中面元dS：ndS；．1．3．1微积分的公式r(3)体积分I(口·6)d微分：dn一d“，例如d，一dd一'

4、，；积分OuOt显然，被积函数是处理问题的关键．1．2被积函数的处理：n()d“一A()一A(“)方法1：直接矢量运算．1．3．2三类矢量积分的公式设a==：nf+日_『+n，b一6f+6．，+6，则(1)(z，dr—z(，，)+jf~(x,w,z)d+(x,y,z)d或(2)』口·dr—J．(++础)·a·b一(ai+“_『+。)·(6i+6+6)一(dxi+dyj+dzk)一I(ndx+aydy+ndz)一JLn6+ayb+n6i1k』ndz+』d+』，“。da×b=T以n(3)Irn×dr一(nb一“6)i+(nb一n6)

5、+』(ax￡++础)×(dzi+dyj+dzk)一(nb～ayb)k(a×6)⋯Ca(b×c)=l(口b一n6)f+(口一b一口6)J『+JL(nb一ayb)一il(口6：一口b)+√IbCl(nb一Ⅱ6)+kI(nb一ayb)JLJl，n(6f一bxc)+n(6c一byc)方法2：建立合适的坐标系，将矢量进行分解，：n·dr一一：n·dr最后写成矢量形式．本文引入右正交标架]：取e，』：口·dr一．j．：n·dr+』：口·dre，三个矢量为单位矢量，且互相垂直，满足右手芭贝0el×P2一e3，e2×e3一1，e3×e1一e2，

6、故Pl，e2，2电磁学中矢量点叉积的积分运算举例P。称为右正交标架．(，ej)一¨1≤i，J，k≤3，2．1点积的积分(e1，e2，e3)一1．用图1表示．【例11如图2(a)，在源电荷q的电场中，试探电荷q。从a移动到b，a点对应的位矢为r，b点对应的位矢为．求ab间的电势差．解析1：用图2(b)坐标架直接套图2(a)即有表图l达式方法3：两个矢量又积n×b的大小la×b1=E—Ee3dl—dxe3一dye2aIlblsinO，方向为右手螺旋定则；点积a·b一I府d．z—dr一一24一2014年第1期物理通报大学物理教学，一-

7、ReP=-R(cos~e3+sin~e2)曲一IE·dl—IEe3·(dxe3一d2)一JotJ口故()c一一dl×r=-Rd／e1q一—I：一q(一)B=fdB=一一j’一一未efdl=一／面1ol解析2：直接用a×B的大小Ia×Bf—bJaJJBJsin0，方向为右手螺旋定则．所以，B的大小(a)(b)为图2：：=IfdB-fJ一===解析2：利用点积的投影含义一fbE·dr一J’4nR3一—47cRJ一p—8oRIsa—一B的方向可由右手螺旋定则确定为垂直于纸面向外．4neorf一4n~o(＼一)／2．3混合积的积分【例2

8、1运用高斯定理E·dS=lq(q在高斯面【例4】导体棒AB以速度'，垂直切割磁感线，1，，0的方向与AB成，如图4(a)求导体棒AB产生的动S内)时，高斯面s通常取为对称的面，例如球面、柱生电动势．面．这样，E=：=E，dS—dS，E：E，dS—dS，；所以有E