ch7_2矢量点积与叉积.pdf

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1、§4两矢量的数量积与矢量积§4.1两矢量的数量积§4.2两矢量的矢量积§5.1三矢量的混合积§4.1两矢量的数量积引例:常力沿直线作功设一物体在常力f作用下,沿与力夹角为的直线移动,位移为s,则力f所做的功为Wsfcosf定义:设矢量a,b的夹角为,M1sM2记作称abcosabWfs为a与b的数量积(点积).两矢量的数量积矢量a与b的数量积(点积)ab

2、a

3、

4、b

5、cos(a,b)运算规律1.交换律abba2.结合律m(ab)(ma)ba(mb)3.分配律a(bc)

6、abac矢量a与b的数量积(点积)ab

7、a

8、

9、b

10、cos(a,b)2aa

11、a

12、

13、a

14、aaa,b非零矢量，ab0cos(a,b)0(a,b)ab2而零矢量与任意矢量垂直定理1abab0例1.aa1ia2ja3k,b1ibb2jb3k,求ab.解:ab(aiajak)(bibjbk)123123iijjkk,1ijjkki0abababab112233ab

15、

16、a

17、

18、b

19、cos(a,b)若a,0b0，aba1b1a2b2a3b3cos(a,b)222222

20、a

21、

22、b

23、aaabbb123123数量积的坐标表示式矢量aa,a,a与bb,b,b的数量积123123aba1b1a2b2a3b3

24、a

25、

26、b

27、cos(a,b)若a0,b0，abababab112233cos(a,b)

28、a

29、

30、b

31、a2a2a2b2b2b2123123abab0a1b1a2b2a3b30例2.已知三点M,)1,1,1(A1,2,2(

32、),B,)2,1,2(求=AMB.解:MA,1,10,MB,1,01,MAMBA则cos

33、MA

34、

35、MB

36、1001MB222故AMB3例3.设力f,25,3作用在一质点上,质点由M1)2,1,1(沿直线移动到M2,)5,4,3(求力所作的功.解:sMM,2,33,12则所作的功：Wfs22()335310矢量的投影设e是单位矢量,称ae

37、a

38、cos(a,e)(a)e为矢量a在矢量e方向(轴)上的投影.b0矢量a在矢量b方向上的投影:a(a)a

39、b。

40、a

41、cos(a,b)bb0,0aab2(a,b),02

42、b

43、,02b矢量的坐标表达式za3aaiajaka,a,aM123123a。aoa2acos,cos,cosay

44、a

45、1xaaa312coscoscos

46、a

47、

48、a

49、

50、a

51、a

52、a

53、cos,a

54、a

55、cos,a

56、a

57、cos123矢量的坐标即为矢量在三个坐标轴方向上的投影例4.

58、a

59、

60、,3b

61、,5(a,b).求(b),3a(a2b)3(a2

62、b),

63、a2b.

64、(P22例1)解:(b)

65、b

66、cos(a,b)5cos5.a32ab

67、a

68、

69、b

70、cos(a,b)35cos15.3222(a2b)3(a2b)

71、3a

72、

73、4b

74、4ab153942541032222

75、a2b

76、(a2b)(a2b)

77、a

78、

79、4b

80、4ab159425479

81、a2b

82、792例5.ai2j2k,b3j4k,求(a),及求b与a,b共面的矢量c,使(c)(c)

83、.2(P23例3)ab解:ab10()232()414

84、a

85、144,3

86、b

87、9165。ab14(a)ab－.b

88、b

89、5。1。1a与b不共线,可设c＝mabnaa,bb35例5.ai2j2k,b3j4k,c＝mabnab14a。1a,b。1b(c)a(c).235b。11(c)ca(mabn)a9(m14n)2a33。11(c)cb(mabn