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1、第三章脊波和曲波变换自然图像中包含有大量的纹理特征,线奇异性表现比较突出,小波变换不能达到最优的逼近。为了克服小波的这种不足,Candes等人提出了一种新的多尺度变换——Ridgelet变换(RidgeletTransform)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,200813.1Ridgelet变换的定义3.1.1一维Ridgelet变换引入函数集：d−1Γ={γ=()aubabRa,,;,∈,>0,uS∈}(3-1)是d维空间的单位球面。记多维空间的Fourier变换为：fˆe−⋅ixξfxdxxR,d(ξ)=∈
2、∫()(3-2)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20082定义3.1：取一光滑的一元函数：CRTf(ab,,θψ)=∫R2()ab,,θ(XfXdX)()其中ψ:RR→并满足容许条件∫ψ(tdt)=0JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20083定义一个多元函数：−1/2⎛⎞uxb⋅−ψ()xa=⋅ψ⎜⎟γ⎝⎠a(3-3)ψ则称γ为由容许条件ψ生成的Ridgelet[2]。其中称a为ubψRidgelet的尺度参数，表示方向，为位置参数。γ是一个不可分离变量的
3、基本函数生成元，能够生成一组面向目标的Ridgelet族。JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20084图3-1给出Ridgelet的几种形式的图解，其中ψ取Marr小波22⎛⎞tψ()tt=−()1exp⎜⎟−⎝⎠2（a）原函数（b）尺度a变换JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20085（c）平移b变化（b）旋转变化θθ图3-1Ridgelet的各种表现形式Ridgelet变换具有方向选择和识别的能力，可以更有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。JointLa
4、boratoryofShantouandXiamenUniversity,200863.1.2二维Ridgelet变换二维连续Ridgelet变换（ContinuousRidgeletTransform，CRT）在域的定义为[2]：CRTf(ab,,θψ)=∫R2()ab,,θ(XfXdX)()(3-4)反变换公式：2π∞∞dadθfX()=∫∫∫CRTabfa(,,θψ),,bθ()X3db(3-5)a4π00−∞JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20087图3-2一个典型的Ridgelet函数ψ(,)xxab
5、,,θ12JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20088反变换公式：2π∞∞dadθ(3-5)fX()=∫∫∫CRTabfa(,,θψ),,bθ()X3dba4π00−∞从以上关系式可以看出，Ridgelet变换和二维小波变换有相似之处，只是用线参数取代了点参数。因此小波变换是逐点刻画点的奇异性，而Ridgelet变换是沿脊线刻画线的奇异性。JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20089（a）空间的Radon变换（b）Radon、Fourier和Ridgelet变
6、换的关系图3-3Radon、Fourier和Ridgelet变换JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,200810设函数fX()，其Radon变换可表示为[3]：Rtf(θδ,c)=+∫2f(xx1,2)(x1osθx2sinθ−tdxdx)12(3-6)R则Ridgelet变换可以表示为函数Radon变换切片上的一维小波变换：CRTfa()ab,,θψ=∫,b(tR)f(θ,tdt)R(3-7)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,2008113.2正交Ridgel
7、et变换22Donoho构造了LR()中的一组规范正交基，并称之为正交Ridgelet[4]。正交Ridgelet多了局域化的优点，在空域光滑并快速衰减，在频域中其支撑区间为某个局部的“径向频率×角度频率”区间。正交Ridgelet在频域中定义。设(ψjk,(tjZkZ):,∈∈)(3-8)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,2008122是中L[0,2)π由Meyer小波构成的规范正交基；令ψˆjk,(ω)表示ψjk,(t)的傅立叶变换，于是，ρλ(xj),,λε=(k;i,l,)正交Ridgelet：可在频
