任兴民 秦卫阳 第6章.ppt

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1、工程振动基础第6章工程振动中的数值方法主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗工程振动基础西北工业大学第6章工程振动中的数值方法主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗第6章工程振动中的数值方法6.1概述6.2结构动态特性分析6.3多自由度系统的响应分析工程振动基础6.4有限元方法简介6.5子结构模态综合法简介6.6有限元软件简介6.7传递矩阵法第6章工程振动中的数值方法6.1概述工程振动基础6.1概述第6章工程振动中的数值方法数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和

2、仿真提供了有效工具。工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析。第6章工程振动中的数值方法6.2结构动态特性分析工程振动基础6.2结构动态特性分析6.2.1特征值问题的性质结构无阻尼自由振动方程将简谐运动代入上式可得（6-1）（6-2）（6-3）（6-4）或写成其中，；K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。特征系统的一些基本特性。（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。6.2结构动态特性分析（2）特征向量（或模态向量）关于质

3、量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：在式中将特征向量归一化，即：（6-5）（6-6）6.2结构动态特性分析上式称为归一化特征向量。则式（6-5），（6-6）有（6-8）（6-9）（6-7）6.2结构动态特性分析(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质定义：对于任意{x}有得到第i阶特征值由式（6-8）和（6-9）可以看出，当｛x｝为系统的某阶特征向量时，则有6.2结构动态特性分析（6-10）（6-11）（6-12）（6-13）(4)特征值的移轴性质式（6-4）两边分别减去，则有另一等价形式：或写为式中式（6-4）和式（6-15）有相同的特征向量，但特征值相差μ，即：

4、6.2结构动态特性分析（6-14）（6-15）（6-16）(5)特征值的分隔性质作移轴，并将作三角分解。则对角矩阵D中有i个负元素。如果有6.2结构动态特性分析(6)位移展开定理以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。对于n维空间中的任意向量｛x｝都可以按模态矩阵Φ展开：系数q可按下式确定：6.2结构动态特性分析（6-17）（6-18）6.2.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格式则向量序列{x1}{x2}将收敛于相应的特征向量。向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适

5、合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵。6.2结构动态特性分析（6-19）对任意向量则：按迭代格式式（6-19）有则：由于当k增大时，｛xk+1｝可能会变得很大或很小，因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化6.2结构动态特性分析（6-20）（6-21）（6-22）（6-23）（6-24）迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。6.2结构动态特性分析在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇异矩阵

6、6.2.3变换法1.广义特征值问题化为标准特征值问题可得到标准特征值问题所以在上式中，前乘S-1，并令则有式中6.2结构动态特性分析（6-28）（6-29）（6-30）2.标准特征值问题的变换法标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（Jacobi）、Givens方法、Householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。考察标准特征值问题在经过k次变换后，有6.2结构动态特性分析（6-32）雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对角化，对应的正交矩阵为6.2结构动态特性分析（6-33）当则当则，符号取决于的符号。

7、当时，矩阵A趋向于对角阵。6.2结构动态特性分析（6-34）如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅可比方法作变换，得到矩阵M、矩阵K共同的主轴，则这种方法称为广义雅可比方法。Givens方法与雅可比方法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。Householdes方法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。6.2结构动态特性分析6.2.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵把矩阵三对角化后，还需要求解三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多，常用的方法有