高考数学选修A知识讲解_函数的极值与最值_基础.doc

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1、导数的应用二------函数的极值与最值编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.理解极值的概念和极值点的意义。2.会用导数求函数的极大值、极小值。3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。4.掌握函数极值与最值的简单应用。【要点梳理】要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极

2、值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导

3、数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。要点二、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不

4、一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。②若在开区间

5、内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的

6、函数未必有极值，极值可能成为最值.要点三、函数极值与最值的简单应用1.不等式恒成立，求参数范围问题。一些含参不等式，一般形如，若能隔离参数，即可化为：的形式。若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题。若不能隔离参数，就是求含参函数的最小值，使。所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。2.证不等式问题。当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。3.两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们

7、可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。【典型例题】类型一：求函数的极值例1.下列函数的极值。（1）；（2）；【解析】（1）函数的定义域为R。。令，得x=－2或x=2。当x变化时，，变化状态如下表：x（－∞，－2）－2（－2，2）2（2，+∞）＋0－0＋&极大值(极小值&从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且。当x=2时，函数有极小值，且。（2）函数的定义域为R。。令，得x=0或x=2。当x变化时，，变化状态如下表：x（－∞，0）0（0，2）2（2，+∞）－0+0－(极

8、小值0&极大值4e－2(由上表可以看出，当x=0时，