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《线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第2章 矩阵 2.3 逆矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3逆矩阵首页上页下页返回结束逆矩阵的定义判定矩阵可逆的充要条件逆矩阵的求法与应用首页上页下页返回结束引例设线性变换系数矩阵为阶方阵（2-6）逆矩阵的定义线性变换（2-6）的矩阵形式:令（2-7）它是从到的线性变换，现求从到的线性变换．首页上页下页返回结束当时,从到的线性变换:令（2-8）称线性变换（2-8）是线性变换（2-7）的逆变换．现讨论线性变换（2-7）、（2-8）的系数矩阵利用例2.13的结果:用左乘式首页上页下页返回结束这是以为系数矩阵的恒等变换，故类似地，将线性变换（2-7）代入（2-8）中这也是恒等变换，故与的关系:与的关系．将线性变换（2-8）代
2、入（2-7）中首页上页下页返回结束定义2.7设为阶方阵，如果存在阶方阵使则称方阵是可逆的，并称简称是的逆矩阵，逆阵．这时,矩阵也是可逆的，的逆阵，即与是互逆的．且是首页上页下页返回结束如果方阵是可逆的，则它的逆阵唯一．事实上，若都是的逆阵，的逆阵记作即由定义2.7可知，引例中的逆变换的系数矩阵是的逆阵，这一结果对一般的方阵是否成立呢？就且当时，首页上页下页返回结束证（必要性）若可逆，由定义2.7可知，存在方阵使判定矩阵可逆的充要条件定理2.1方阵是可逆矩阵的充分必要条件是且有其中是方阵伴随阵．的首页上页下页返回结束（充分性）对于任意方阵由例2.13,有若由定义2.7
3、可知，方阵可逆，且则注：定理2.1不仅给出判断方阵可逆的充要条件，而且给出求逆阵的一种方法．首页上页下页返回结束推论若则证若由定理2.1知，存在，若则称是奇异阵，也就是不可逆矩阵；若则称是非奇异阵，也就是可逆阵．注推论也是判断方阵可逆的一种方法，它不必验证乘积是否可交换，因此比定义2.7简捷．首页上页下页返回结束求方阵的逆阵作为一种运算，它满足下列运算律：（1）若可逆，则也可逆，且（2）若可逆，数则可逆，且（3）若是同阶的可逆阵，则也可逆，且（4）若可逆，则也可逆，且逆矩阵的求法与应用首页上页下页返回结束为整数时，例2.14求下列方阵的逆阵：有当可逆时，的幂的定义可
4、以扩充：当可逆，首页上页下页返回结束解方阵可逆．(1)当时，又伴随阵首页上页下页返回结束可逆．又的所有元素的余子式为：首页上页下页返回结束的元素的余子式：的伴随阵由首页上页下页返回结束例2.15设求矩阵使解由例2.14(2)知，方阵可逆，用左乘等式且首页上页下页返回结束例2.16利用逆阵求解线性方程组解令首页上页下页返回结束又伴随阵由矩阵的乘法，该线性方程组可表示成向量方程可逆，且首页上页下页返回结束例2.17设且求解可逆.首页上页下页返回结束又由而首页上页下页返回结束由此找An的规律由首页上页下页返回结束设的次多项式为为阶方阵，令称为方阵的次多项式．因为方阵和都是
5、可交换的，所以方阵的任意两个多项式和都是可交换的，即首页上页下页返回结束例如，例2.18设方阵满足证明与都可逆，并求与解由因此，方阵的多项式可以像数的多项式一样相乘或因式分解．由推论知，方阵可逆，首页上页下页返回结束又由由推论知，方阵也可逆，且且首页上页下页返回结束例2.19(用可逆阵进行保密编译码)在英文中有一种对消息保密的措施,中的英文字母用一个整数来表示,就是把消息然后传送这组整数．如使用代码:将26个英文字母A,B,…,Y,Z数字1,2,…,25,26．依次对应若要发送信息action,此信息的编码是1,3,20,9,15,14．用这种方法,在一个长消息根据
6、数字出现的频率,容易估计它所代表的字母,因而容易被破译．因此,利用矩阵的乘法对这个编码中,首页上页下页返回结束将编码写成两个传出信息向量进一步加密．现任选一个行列式等于1或-1的整数矩阵,如首页上页下页返回结束将传出信息向量经过乘编成“密码”后发出,收到的信息为又首页上页下页返回结束将所收到的信息写成两个信息向量后，经过乘给予解码为最后，利用使用的代码将编码恢复为明码，得到信息action．首页上页下页返回结束下面利用逆阵证明第1章的克拉默法则．克拉默法则对于个变量，个方程的线性方程组（2-9）如果它的系数行列式则方程组(2-9)有唯一解首页上页下页返回结束其中证设
7、首页上页下页返回结束由知可逆．令将它代入方程(2-10)中，得即是方程(2-10)的解，也就是方程组(2-9)的解向量，说明方程组(2-9)的解存在．方程组(2-9)可表示成向量方程(2-10)并称向量方程(2-10)的解为方程组(2-9)的解向量．首页上页下页返回结束如果也是方程组(2-9)的解向量，则有于是即说明方程组(2-9)的解唯一．得由首页上页下页返回结束即首页上页下页返回结束所以而故首页上页下页返回结束
