线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第2章 矩阵 2.2 矩阵的基本运算.ppt

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1、2.2矩阵的基本运算首页上页下页返回结束矩阵的加法数与矩阵相乘矩阵的乘法矩阵的转置方阵的行列式2.2.1矩阵的加法首页上页下页返回结束定义2.2设同型矩阵将这两个矩阵的对应元素相加而得到的矩阵与的和，记作即称为矩阵矩阵加法满足下列运算规律（设都是同（1）交换律（2）结合律型矩阵）：注意：只有同型矩阵才能进行加法运算．首页上页下页返回结束设矩阵将这个矩阵的每个元素都取相反数的负矩阵，记作即显然,利用负矩阵，可以定义矩阵的减法：称为矩阵而得到的矩阵首页上页下页返回结束同型矩阵与的差，并规定记作首页上页下页返回结束2.2.2数与矩阵相乘定义2.3用数乘以矩阵元

2、素而得到的矩阵的乘积，记作即的每一个与或称为首页上页下页返回结束数乘矩阵满足下列运算规律（设是同型矩为数）：(1)结合律(2)分配律矩阵的加法与数乘矩阵运算显然,时,当当时,阵，统称为矩阵的线性运算．首页上页下页返回结束糖果商店糖果1糖果2糖果3商店一商店二商店三表2-3，，．例2.3美分计）为统计表2-3：若糖果价格上涨50%，分，（以设3家不同商店的3种不同糖果的价格且购买每块糖果要付税5美求三种不同糖果交纳税后的价格．首页上页下页返回结束解令表2-3糖果商店糖果1糖果2糖果3商店一商店二商店三设糖果的初始价格表示为矩阵首页上页下页返回结束则每块糖果

3、交纳的税额若糖果价格上涨50%，应矩阵则对应矩阵且交纳税额后的糖果价格对首页上页下页返回结束即表2-4糖果商店糖果1糖果2糖果3商店一商店二商店三首页上页下页返回结束2.2.3矩阵的乘法引例设两个线性变换(2-1）（2-2）首页上页下页返回结束将线性变换（2-2）代入（2-1）中所求的线性变换显然，（2-3）并称线性变换（2-3）线性变换（2-3）对应的矩阵（2-1）与（2-2）与（2-2）的为线性变换（2-1）乘积，定义为线性变换对应的矩阵的乘积．求由变量到变量的线性变换．首页上页下页返回结束如果设线性变换（2-1）、数矩阵分别为则（2-3）的系（2-

4、2）、首页上页下页返回结束一般地，定义矩阵的乘法如下：定义2.4设矩阵则规定A与B的乘积为矩阵其中第行第列元素记作C=AB．首页上页下页返回结束注意:在矩阵的乘法运算中，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意行数，积矩阵的列数等于右矩阵的列数.而且，所得到的积矩阵的行数等于左矩阵的义．首页上页下页返回结束解为矩阵，为矩阵，有意义，且A的列数等于B的行数，例2.4设矩阵求首页上页下页返回结束反之，没有意义.的列数A的行数,首页上页下页返回结束例2.5设矩阵求解为矩阵，为矩阵都有意义，与且首页上页下页返回结束显然，例2.6设矩阵求首页上页下页

5、返回结束解都是2阶方阵，与都有意且而且，一般地，由（不一定）或义，AB.BA首页上页下页返回结束由例2.4矩阵相乘一定要注意顺序.有意义，BA不一定有意义．即使与都有意义，与也不一定相等．一般地，矩阵乘法不满足交换律，即例2.6可知，矩阵乘法满足下列运算律（假设下列运算都有意义）(1)结合律(2)分配律首页上页下页返回结束如果两个阶方阵A,B满足则称方与可交换．对于单位阵可证得可见，单位阵E在矩阵的乘法运算中的作用相当于常数1．特别地，对于阶单位阵E和阶方阵有表明n阶单位阵E与任何阶方阵A可交换．阵EA=AE=A.首页上页下页返回结束阶方阵称为阶纯量阵．

6、显然，表明阶纯量阵与任何阶方阵可交换．首页上页下页返回结束利用矩阵的乘法运算，例2.1中两个矩阵的乘积是有实际意义的.为甲、乙两个商店销售完三种家电所得的销售总额总利润构成的矩阵．和甲乙两个商店有三种家电数量三种家电每台售价和利润首页上页下页返回结束对于线性变换令矩阵（2-4）首页上页下页返回结束利用矩阵的乘法，(2-5)并称形式（2-5）是的线性变换．形式:线性变换（2-4）可表示成矩阵到从首页上页下页返回结束由矩阵的乘法，只有当A是方阵才有意义，由此我们可以定义方阵的幂：设A是阶方阵，定义为正整数）.方阵的幂满足下列运算律：一般地，首页上页下页返回结

7、束证明例2.7证用数学归纳法．（1）当显然，等式成立．（2）假设时，等式成立，即时，当首页上页下页返回结束（3）当时，由方阵的幂的定义，有等式成立．故对任意的正整数等式都成立．首页上页下页返回结束设制造三种不同物品所需资源的数量如表例2.82-5：资源物品木材钢材劳力物品一物品二物品三表2-5首页上页下页返回结束资源物品西班牙意大利木材钢材劳力表2-6＄2＄3＄3＄4＄5＄6求两个国家制造每种物品需要多少费用?两个不同国家的资源价格如表2-6：设表2-5和表2-6分别对应于矩阵解两个国家制造每种物品需要的费用对应于矩阵首页上页下页返回结束由首页上页下页返

8、回结束资源物品西班牙意大利木材钢材劳力表2-7＄155＄160＄182＄95＄1