人教版 选修4-5 第5讲-绝对值三角不等式.ppt

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1、课前热身：332/27第5讲绝对值三角不等式高中新课程数学选修4-51.绝对值三角不等式答案：a≤1.证:变式1-1典例分析推论1如果a、b、c是实数,那么

2、a-c

3、≤

4、a-b

5、+

6、b-c

7、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.推论2如果a、b是实数,那么

8、

9、a

10、-

11、b

12、

13、≤

14、a+b

15、≤

16、a

17、+

18、b

19、当且仅当ab≤0时,等号成立.当且仅当ab≥0时,等号成立.2.绝对值三角不等式的3个推论推论3如果a、b是实数,那么

20、

21、a

22、-

23、b

24、

25、≤

26、a-b

27、≤

28、a

29、+

30、b

31、答案：-4≤y≤4.答案：a≥1.典例分析BDD例3设f(x)=a

32、x2+bx+c，当

33、x

34、≤1时，总有

35、f(x)

36、≤1,求证：

37、f（2）

38、≤7.典例分析例4已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的定义域为［-1，1］，且

39、f(x)

40、的最大值为M.(1)证明：

41、1+b

42、≤M;(3)当时，试求出f（x）的解析式.典例分析（1）证明∵M≥

43、f（-1）

44、=

45、1-a+b

46、，M≥

47、f（1）

48、=

49、1+a+b

50、，2M≥

51、1-a+b

52、+

53、1+a+b

54、≥

55、（1-a+b）+（1+a+b）

56、=2

57、1+b

58、，∴M≥

59、1+b

60、.（2）证明依题意，M≥

61、f（-1）

62、，M≥

63、f（0）

64、，M≥

65、f（1）

66、，又f（-1）=

67、

68、1-a+b

69、，

70、f（1）

71、=

72、1+a+b

73、，

74、f（0）

75、=

76、b

77、，∴4M≥

78、f（-1）

79、+2

80、f（0）

81、+

82、f（1）

83、=

84、1-a+b

85、+2

86、b

87、+

88、1+a+b

89、≥

90、（1-a+b）-2b+（1+a+b）

91、=2，（3）解①②③④例3设f(x)=ax2+bx+c，当

92、x

93、≤1时，总有

94、f(x)

95、≤1,求证：

96、f（2）

97、≤7.证明方法一∵当

98、x

99、≤1时,

100、f（x）

101、≤1，∴

102、f（0）

103、≤1，即

104、c

105、≤1.又

106、f（1）

107、≤1，

108、f（-1）

109、≤1，∴

110、a+b+c

111、≤1，

112、a-b+c

113、≤1.又∵

114、a+b+c

115、+

116、a-b+c

117、+2

118、c

119、≥

120、a+b+

121、c+a-b+c-2c

122、=

123、2a

124、，且

125、a+b+c

126、+

127、a-b+c

128、+2

129、c

130、≤4，∴

131、a

132、≤2.典例分析∵

133、2b

134、=

135、a+b+c-（a-b+c）

136、≤

137、a+b+c

138、+

139、a-b+c

140、≤2，∴

141、b

142、≤1，∴

143、f（2）

144、=

145、4a+2b+c

146、=

147、f（1）+3a+b

148、≤

149、f（1）

150、+3

151、a

152、+

153、b

154、≤1+6+1=8，即

155、f（2）

156、≤8.方法二∵当

157、x

158、≤1时，

159、f（x）

160、≤1，∴

161、f（0）

162、≤1，

163、f（1）

164、≤1，

165、f（-1）

166、≤1.由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，f（0）=c知∴f（2）=

167、4a+2b+c

168、=

169、2f(1)+2f(

170、-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)

171、=

172、3f(1)+f(-1)-3f(0)

173、≤3

174、f(1)

175、+

176、f(-1)

177、+3

178、f(0)

179、≤3×1+1×1+3×1=7≤8.[研一题][答案](1)A(2)

180、a

181、＞

182、b[通一类]1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式：答案：(1)④(2)D[研一题][精讲详析]本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有

183、a

184、＞

185、b

186、.所以本题应从讨论

187、a

188、

189、与

190、b

191、的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．[悟一法]含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：

192、

193、a

194、－

195、b

196、

197、≤

198、a±b

199、≤

200、a

201、＋

202、b

203、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．[通一类]2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，

204、x－a

205、＜1，求证：

206、f(x)－f(a)

207、＜2(

208、a

209、＋1)

210、．证明：

211、f(x)－f(a)

212、＝

213、(x2－x＋c)－(a2－a＋c)

214、＝

215、x2－x－a2＋a

216、＝

217、(x－a)(x＋a－1)

218、＝

219、x－a

220、·

221、x＋a－1

222、＜

223、x＋a－1

224、＝

225、(x－a)＋(2a－1)

226、≤

227、x－a

228、＋

229、2a－1

230、≤

231、x－a

232、＋

233、2a

234、＋1<1＋2

235、a

236、＋1＝2(

237、a

238、＋1).[研一题][例3]已知a，b∈R，且

239、a＋b＋1

240、≤1，

241、a＋2b＋4

242、≤4.求

243、a

244、＋

245、b

246、的最大值．[精讲详析]本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出

247、a＋b

248、，

249、a－b

250、的最值，再通过

251、a

252、＋

253、b

254、与它们相等时进行讨论求出最大值．

255、a＋

256、b

257、＝

258、(a＋b＋1)－1

259、≤

260、a＋b＋1

261、＋

262、1－1

263、≤2，

264、a－b

265、＝

266、3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5

267、[悟一法](1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求

268、a

269、＋

270、b

271、的最大值比较困难，可采