2013年全国初中数学联赛初赛.doc

《2013年全国初中数学联赛初赛.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2013年全国初中数学联赛初试解答一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、已知，则，，的大小关系是（）A：B．C．D．解：由，得，从而，所以，又，所以．故选D．2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP， 过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为A．B．16C．D．32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP＝，因此正方形ABCD的边长为，所以面积为．故选C．3、若实数，满足，

2、则的取值范围是（）A：a≤－1　　　　B：a≥－1　　C：a≤1　　　D：a≥1解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式△＝(－2)2－4(a－2)≥0解得．a≤－1或：原式化为a＝－b2＋2b－2＝－(b－1)2－1≤－1故选A．4、如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=，CN=3，DN=，，所以48，所以AD=．故选B．5、方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．3D．5解：化简为＝设：x＋y

3、＝3a，xy＝7a，且a≠0，则x，y可以看成一元二次方程m2－3am＋7a＝0的两根，而方程的判别式小于0，所以m没有实数解故答案选A．6、已知实数满足，则的值是（）A．B．0C．1D．24解：显然x＋y＋z≠0，否则由已知得即所以．故选B．二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1、是正整数，○x表示的正约数个数，则③×④÷⑥等于．解：③，④，⑥，所以③×④÷⑥．故填．2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是．解：设草原上原有

4、草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草．因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组＝＝由＝得．代入＝中，得，解得．故填96．3、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60°，则AB的长是．解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．则CF=AB，则NF=，过N作NH垂直AF于H，则AH=，，故，．所以．故填．4、小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是

5、．4解：设输漏的一是m，则＝＝＝＝＝－＋1＝n－＝，n＝＋。因为1＜m＜n，所以0＜＜2，＜＋＜，即59.5＜n＜61.5，所以n＝60（舍去，m不是正整数）或n＝61，当n＝61，m＝46。三、（本大题满分20分）解方程．解：当x≥时，原方程可化为，解得，．又因为，故应舍去．10分当时，原方程可化为，解得，．又因为，故应舍去．所以原方程的解为和．20分四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CBCD，求证：CA2－CB2＝AB×AD；证明：连结BD、AC交于点E，则∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD所以△∽△，5分所以，

6、所以AB×AD＝AC×AE．10分又∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB所以△∽△，15分所以，所以，CB2＝CA×CE20分所以CB2＋AB×AD＝CA×CE＋AE×ACCB2＋AB×AD＝AC×(CE＋AE)＝AC24所以．CA2－CB2＝AB×AD25分五、（本大题满分25分）已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，．(R)．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1．求线段A1B1的长的取值范围．（1）证明：由消去y得，．5分∵，，∴，．∴，∴，即两函数的图象

7、有两个不同的交点．10分（2）解：设方程的两根为和，则x1+x2，x1x2．15分　．20分∵，，∴，∴，解得．∴，故．25分4