高考数学复习导数的应用.doc

高考数学复习导数的应用.doc

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1、14.2导数的应用●知识梳理1.函数的单调性(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f′(x)>0,则f(x)为增函数;若f′(x)<0,则f(x)为减函数.(2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数f(x)的定义区间.②求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数f(x)的间断点〔即包括f(x)的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.④确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增

2、减性.2.可导函数的极值(1)极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),则称f(x0)为函数的一个极大(小)值,称x0为极大(小)值点.(2)求可导函数f(x)极值的步骤.①求导数f′(x).②求方程f′(x)=0的根.③检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值(1)设y=f(x)是定义

3、在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,可分两步进行.①求y=f(x)在(a,b)内的极值.②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调增加,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(a)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f′(x)取值为0的点称为函数f(x)的驻点,那么(1)可导函数的极值点一定是它的驻点,注意

4、这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=

5、x

6、在点x=0处有极小值f(0)=0,可是我们在前面已说明过,f′(0)根本不存在,所以点x=0不是f(x)的驻点.(2)可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f(x)=x3的导数是f′(x)=3x2,在点x=0处有f′(0)=0,即点x=0是f(x)=x3的驻点,但从f(x)在(-∞,+∞)上为增函数可知,点x=0不是f(x)的极值点.●点击双基1.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.(,)B.(π,2π)C.(,)D.(2π,3π)解析:y′=(xsinx+cosx

7、)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈(,)时,恒有xcosx>0.答案:C2.函数y=1+3x-x3有A.极小值-2,极大值2B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1D.极小值-1,极大值3解析:y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;当-1<x<1时,y′>0,函数y=1+3x-x3是增函数;当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.∴当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;当x=1时,函数y=1+3x-x3有极

8、大值3.答案:D3.设f(x)在(a,b)内有定义,x0∈(a,b),当x<x0时,f′(x)>0;当x>x0时,f′(x)<0.则x0是A.间断点B.极小值点C.极大值点D.不一定是极值点解析:f(x)在x0处不一定连续.答案:D4.函数f(x)=ex+e-x在(0,+∞)上的单调性是__________.解析:∵f′(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1),∴当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.答案:增函数5.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数,则m的取值范围是______________

9、_____________________.解析:f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数,∴f′(x)>0在R上恒成立,即3x2+2x+m>0.由Δ=4-4×3m<0,得m>.答案:m>●典例剖析【例1】求函数y=的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解,也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂,可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由求得x≥-2.求导得y′=-=.由y′>0得2>,即解得x>-2,即函数y=-在(-2,+∞)上是增函数.又此函数在x=-2处连续,∴在[-2,+

10、∞)上是增函数,而f(-2)=-1.∴函数y=-的值域是[-1,+∞).评述:函

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