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1、解析几何中的最值距离探析摘要：解析几何中的最值问题是高考中的热点问题，既有选择题，乂有填空题、解答题，难度中等偏高•高考题中有关解析儿何中求距离最值问题，最终都可以转化为定义或对称思想、三角有界求值域的方法解Z,一般思想转折线和为线段最短问题.关键词：数学；解析几何；求线段最值；曲化直中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9324(2014)07-0241-01解析几何中的最值问题是高考中的热点问题，既有选择题又有填空题、解答题，难度中等偏高•考查上述问题时，通常考查函数与方程、转化与化归及分类讨论等思想方法•这就要求同学们
2、对最值问题要做到心中有数，运算准确，争取在此类问题上能够脱颖而出•下面，就常常出现的几类题型介绍一下自己的看法.例1已知点A(-3,8),B(2,2),点P是x轴上的点，求当
3、AP
4、+
5、PB
6、最小时点P的坐标.【解析】设点B关于x轴的对称点为B1,连AB1交x轴于点P,则易知点P满足
7、AP
8、+
9、PB
10、最小•可求得直线AB1的方程2x+y-2二0.令y二0,则x二1•故所求点P的处标为(1,0)・点评：此题考查直线上一点到直线同侧的两点距离和的最小值，往往转化为对称问题，用直线方程的方法求解•很好地把直线问题与几何问题结合到了一起，难度不大，属于
11、易得分题.例2若实数x,y满足x2+y2+8x-6y+16二0,则x+y+1的最大值为【解析】解法一：令x+y+1二t,则依题设圆C：(x+4)2+(y-3)2=9与直线1：x+y+1-1二0有公共点，从而圮-3・WtW3■.故所求最大值为31L解法二：因为x,y满足C：(x+4)2+(y-3)2=9,所以可设x=-4+3cos9y二3+3sin0(0为参数)・所以x+y+1二3cos0+3sin0二3・sin(◎+■).故所求最大值为3H.点评：此题考查直线与圆位置关系问题•解法一考虑用圆心到直线距离与半径比较大小，同学们容易想到但要注意计算
12、准确•解法二则巧妙地运用了三角代换方法，简化了运算步骤，是较好的选择.例3如图，已知B,C为椭圆■+■二1的两个焦点，A(-2,■)为定点，M是椭圆上一动点,求
13、MA
14、+
15、MC
16、的最小值.【解析】根据椭圆定义，有
17、MA
18、+
19、MC
20、二
21、MA
22、+(8-
23、MB
24、)=8-(
25、MB
26、-
27、MA
28、).为使
29、MA
30、+
31、MC
32、取得最小值，只需
33、MB
34、-
35、MA
36、取得最大值，A、B、M三点共线时才可以取得,此时
37、MB
38、-
39、MA
40、^
41、AB
42、=B,故所求最小值为8-■・点评：此题考查椭圆第一定义的灵活运用，要熟练掌握转化变形，同时应用了三点共线原理，难度稍大，属于拉分题
43、.例4P为双曲线・-■二1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2二4和(x-5)2+y2二4上的点，求
44、PM
45、-
46、PN
47、的最大值.【解析】根据题意，作出右图•显然，01,02为双曲线的两个焦点.要使
48、PM卜
49、PN
50、最大，即要使
51、卩M
52、最大，
53、卩N
54、最小，以此作出M,N具体位置如右图,则容易得出
55、PM
56、-
57、PN
58、最大值为:
59、PM
60、-
61、PN
62、=(IP01I+2)-(
63、PO2
64、-1)二3+
65、卩01卜
66、卩02二3+6二9.点评：此题属于综合性较强的题型，既考查了圆的方程，乂考查了双曲线的性质•但最终还是回归到双曲线的定义上，充分体现了回归课本的
67、指导思想.例5点A(3,2)为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2二4x上移动，则当
68、PA
69、+
70、PF
71、取得最小值时，点P的坐标是・【解析】抛物线y2二4x的准线方程为x=-l,设卩到准线的距离为d,则
72、PA
73、+
74、PF
75、=
76、PA
77、+d・要使
78、PA
79、+
80、PF
81、取得最小值，由右图可知过A点的直线与准线垂直时，
82、PA
83、+
84、PF
85、取得最小值，把y二2代入y2二4x,得P(l,2).点评：此题求取最值时，没有上来后先设点，而是首先观察点的位置,看能否借助概念，巧妙进行转化，于是考虑抛物线的定义，顺利解决了此题.综上所述，高考题屮有关解析几何
86、中求距离最值问题，最终都可以转化为定义或对称思想、三角有界求值域的方法解之，一般思想转折线和为线段最短问题.
