解析几何中求距离最值问题的方法与策略

《解析几何中求距离最值问题的方法与策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、解析几何中求距离最值问题的方法与策略　　关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.　　一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题　　1.同侧求差取最大，直接连接找交点.　　例1.设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y的值.　　分析：由题意可知=

2、OP

3、-

4、

5、OQ

6、=-=-，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值.又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.　　解析：由分析易得

7、OP

8、-

9、OQ

10、的最大值为

11、AB

12、=，此时直线AB的方程为y=-x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.　　2.异侧求差取最大，找出对称直接连.　　例2.在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.　　分析：由题意可知A、B两点分别在直线l

13、的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′4并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.　　解析：由分析易得

14、MA

15、-

16、MB

17、的最大值为

18、AB′

19、=，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.　　由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.　　3.异侧求和取最小，直接连接找交点.　　例3.求函数f（x）=+的最小值.　　分析：f（x）=+　　=+表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧

20、，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.　　解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=　　-x+，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.　　4.同侧求和取最小，找出对称直接连.　　例4.在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M　　（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时

21、PM

22、+

23、PN

24、取得最小值？　　解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使

25、PM

26、+

27、PN

28、取得最小值.　　设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易

29、证该点即是所求的点P.又直线M′N的方程为y=-x+，即x+2y-3=0.　　由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.4　　点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.　　二、利用数形结合求距离的最值问题　　例5.设m≥1，求坐标平面上两点A（m+，m-　　），B（1，0）之间距离的最小值.　　分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦.如果从轨迹图形入手，最简

30、捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.　　解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+，y=m-可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，

31、AB

32、的最小值为1.　　三、将两个动点转化为只有一个动点　　例6.如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求

33、PQ

34、的最小值.　　分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动

35、点到一个定点的距离的最值问题.　　本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难.这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理.P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.　　解析：设Q（y2，y），则

36、QM

37、2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2-）2+4≥.取等号当且仅当y=±.　　故

38、PQ

39、的最小值为-1.　　四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题　　例7.已知椭圆+=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得

40、MP

41、+2

42、MF

43、

44、取得最小值.　　分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.　　解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）.由M向右准线作垂线，垂足为N，则==.　　即

45、MN

46、=2

47、MF

48、.　　故

49、MP

50、+2

51、MF

52、=

53、MP

54、+

55、M