角的概念的推广.ppt

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1、1.1.1角的概念的推广1、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端

2、点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,=150,=660.②角可以

3、任意大;实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.思考1：一个角的始边与终边可

4、以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？k·360°（k∈Z）（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1300是第Ⅲ象限角，135、2000是第Ⅱ象限角等思考2：锐角与第一象限

5、的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo思考5：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？思考6：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S={β

6、β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考7：一般地，所有与角α终边相同的角，

7、连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β

8、β=α+k·360º}(k∈Z)即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.4．终边相同的角⑷注意以下四点：①k∈Z；②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴

9、∵－120º=－360º+240º，∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β

10、β=k·36