近世代数初步(第二版)课后习题答案(石生明)03.pdf

《近世代数初步(第二版)课后习题答案(石生明)03.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章有限域及其应用n１畅有限域中的元素的数目．p元域的存在及唯一性，它的结构（Zp上的nnp维向量空间、是x－x＝０的全部根、它的全部非零元组成乘法循环群），它的子域．nq２畅有限域上不可约多项式的性质．Fq上全部n次不可约多项式皆为x－x的因子．不可约多项式f（x）（≠cx）的周期性．本原多项式及用于纠错码．３畅移位寄存器序列（线性递归序列）序列的数学刻画：引入F２上向量空间V（F２）＝｛a＝（a０，a１，a２，⋯，）｜ai∈F２｝及V（F２）上左移变换L：La＝（a１，a２，a３，⋯）．对F２上递归关系an＋k＝c

2、n－１a（n－１）＋k＋cn－２a（n－２）＋k＋⋯＋c０ak，k＝０，１，２，⋯（倡）引入F２上多项式nn－１f（x）＝x＋cn－１x＋⋯＋c０．则V（F２）中向量a满足（倡）（即a是满足（倡）的线性递归序列）的充分必要条件是f（L）a＝0．优美的理论结果：0≠a的周期等于f（x）的周期（这时f（x）必须是不可约多项式且f（x）≠x）m序列及其优美性质（参看习题）１畅§３内容是总导引中第一点思想的又一体现．读者自己察看一下，§３中共组织了两个运算系统．一个是F２上的无限序列作成的线性空间V（F２）；一个是引入左移变换L

3、，组成了V（F２）上线性变换的多项式环．正是有这两个运算系统才能将线性递归序列的周期性与F２上多项式的理论联系起来．２畅§１及§２内容是有限域及其上的多项式理论的一个简短而较全面的介绍．这在一般近世代数教材中少见．而§３内容在这些教材中从未出现过．其中的应用使我们看到这些内容与当代信息技术有密切联系．实际上它们对今后更·68·大范围的应用来说也是基本的．３畅§３内容是理论与实践相互促进的范例．正是分析移位寄存器序列性质的需要产生了理论的研究，理论的建立和优美的结果又解决了实践中的问题．这充分显示了理论的力量读者试作出一个

4、具体线性递归序列来验证一下§３中关于周期性的结果．§1有限域的基本构造２２倡１畅验证x＋１及x＋x＋２皆为Z３［x］上不可约多项式．写出下列两域２２Z３［x］／（x＋１）及Z３［x］／（x＋x＋２）的加法表和乘法表．找出这两个域之间的同构对应．倡２畅作出Z２［x］，Z３［x］中所有的二次、三次、及两个四次不可约多项式．作出２３４２，２，２个元的域．倡３畅f１（x），f２（x）都是Zp［x］上m次不可约多项式，则Zp［x］／（f１（x））碖Zp［x］／（f２（x））．４２４畅作出一个３个元的域，并在其中找出一个３个元的子域

5、．倡５畅设d｜m，证明dm（１）p－１｜p－１．dmpp（２）x－x｜x－x．倡６畅设Fn倡nnp＝Zp（α）．问α是乘法群Fp＝Fp＼｛０｝的生成元吗？２２１畅x＋１及x＋x＋２在Z３上皆无根，故它们在Z３［x］中不可约．２２Z３［x］／（x＋１）及Z３［x］／（x＋x＋２）都是域．我们略去它们的加法表和乘法表，只证明它们同构．２Z３［x］／（x＋１）＝Z３［珔x］，２２其中珔x＝x＋（（x＋１））．珔x满足Z３上x＋１＝０．而·69·２Z３［x］／（x＋x＋２）＝Z３［珕x］２２其中珕x＝x＋（（x＋x＋２））．珕x

6、满足Z３上x＋x＋２＝０．我们要找出Z３［珕x］中的＝＝＝２２２２元素α，满足方程x＋１＝０．实际上由０＝珕x＋珕x＋２＝珕x＋珕x＋１＋１＝珕x＋４珕x＝＝＝＝＝＝＝＝２２＋４＋１＝（珕x＋２）＋１（在Z３中４＝１）．取α＝珕x＋２就适合α＋１＝０．由此［Z３（α）：Z３］＝２．再由Z３（α）彻Z３［珕x］及［Z３［珕x］：Z３］＝２，知Z３（α）＝Z３［珕x］．现作映射φ２Z３［x］Z３（α）＝Z３［珕x］＝Z３［x］／（x＋x＋２）p（x）p（α）２这是满同态，且Kerφ＝（（x＋１））．由同态基本定理得同构２Z３

7、［x］／（x＋１）Z３（α）p（珔x）p（α）．２其中珔x＝x＋（（x＋１））．２畅Z２［x］中不可约多项式如下：一次的：x，x＋１，２二次的：x＋x＋１，３２３三次的：x＋x＋１，x＋x＋１，４４３４３２四次的：x＋x＋１，x＋x＋１，x＋x＋x＋x＋１．Z３［x］中不可约多项式如下：一次的：x，x＋１，x＋２，２２２二次的：x＋１，x＋x＋２，x＋２x＋２，３３３２３２３２三次的：x＋２x＋１，x＋２x＋２，x＋x＋２，x＋x＋x＋２，x＋x＋２x３２３２３２＋１，x＋２x＋１，x＋２x＋x＋１，x＋２x＋２x＋２，

8、４３４３４２４３４四次的：x＋２x＋２，x＋x＋２，x＋x＋２x＋１，x＋２x＋x＋１，x＋３２４３４３２４３２４x＋x＋２x＋２，x＋２x＋x＋１，x＋２x＋x＋１，x＋２x＋x＋２x＋１，x３２４３２４２４４＋x＋２x＋２x＋１，x＋２x＋x＋x＋２，x＋２x＋２x＋２，x＋２x＋２，x＋４２４４２４２４２x＋２