海伦公式的证明(精选多篇).doc

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1、海伦公式的证明(精选多篇)　　与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc=(a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/

2、4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　海伦公式的几种证明与推广　　古镇高级中学付增德　　高中数学必修⑤第一章在阅读

3、与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron'sformula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得：　　s?　　(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?　　12　　(a?b?c)，称为半周长。　　图1　　c　　海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2

4、个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s=　　p(p?a)(p?b)(p?c)　　2　　2　　2　　===　　141414　　(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a　　2　　=　　14　　[(a?b)?c][c14　　4ab　　2　　2　　?(a?b)]　　2　　2　　?b　　2　　2　　?c　　2　　?2ab)[?(a　　2　　2　　?b　　4　　2　　?c

5、　　4　　2　　?2ab)]　　4　　=　　?(a　　2　　?b?c)　　22　　2ab　　2　　?2ac　　2　　?2bc　　22　　?a?b?c　　12　　absinc和余弦定理　　教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s?　　12　　12　　12　　c　　2　　?a　　2　　?b　　2　　?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc=　　2　　ab1?(　　a　　2　　?b　　2　　?c　　2　　2ab　　)　　2　　下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的

6、“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式s?abc?　　12　　aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。　　如图2，　　b　　图2　　c　　?x2?y2?c2　　222　　?2a?c?b22　　在△abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，　　2a　　?y?z?a?z?　　a　　?b　　?c　　2a　　，x?c　　?y　　?c　　?(　　a　　?c　　?b　　2

7、a　　)　　?　　12a　　4ac　　22　　?(a　　?c　　?b)下略。在求　　22　　高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：ab　　ad　　?dc?ac　　?bd?ad　　?bc?bd?dc?bc，等式改写为　　?ab　　?　　dcbc　　?ac　　?　　bdbc　　?bc　　?　　dcbc　　?　　bdbc　　aa　　22　　而当点d是顶点a的正射影时,有　　bddc　　?　　abcosbaosc　　?　　?c?b　　22　　?b?c　　

8、22　　，利用比例的性质，变形得　　bdbc　　?　　a　　?c　　22　　?b　　2a　　，　　dcbc　　?　　a　　?b　　22　　?c　　2a　　，代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数　　的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c=180°那么　　abacbcta?ta