《选修11：椭圆中定值定点问题》教案.doc

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1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长(分钟)2课时知识点对称问题定点、定值、最值等问题教学目标1．掌握圆锥曲线中的定点、定值、最值问题的求法．2．掌握有关圆锥曲线中对称问题的处理方法．教学重点圆锥曲线中定点、定值、最值等问题的求解方法教学难点数形结合思想的应用《选修11：椭圆中定值定点问题》教案本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】1．定点、定值、探索性问

2、题是椭圆中的综合题，一直是高考考查的重点和热点问题．2．本部分在高考试题中多为解答题，是中高档题．二、知识讲解考点1椭圆中的定点定值问题考点1单调函数的定义胞由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：(1)与椭圆有关的直线过定点：①y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；②(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．(2)与椭圆有关的圆过定点：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝

3、0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．(3)与椭圆有关的参数的定值问题．考点2椭圆中的最值问题(1)参数的取值范围：由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．(2)长度和面积的最值：由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值．三、例题精析例题1例题1类型一定点问题如图，椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是直线

4、上的两个动点，且·＝0．(1)求椭圆的方程；(2)求MN的最小值；(3)求以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．【解】(1)因为e＝＝，且过点P，所以解得所以椭圆方程为＋＝1．(2)由题可设点M(4，y1)，N(4，y2)．又知F1(－1，0)，F2(1，0)，则＝(5，y1)，＝(3，y2)．所以·＝15＋y1y2＝0，y1y2＝－15，y2＝－．又因为MN＝

5、y2－y1

6、＝＝＋

7、y1

8、≥2，当且仅当

9、y1

10、＝

11、y2

12、＝时取等号，所以MN的最小值为2．(3)设点M(4，y1)，N(4，y2)，所以以MN为直径的圆的圆心C的坐标为，半径r＝，所以圆C的方程为(x－4)2＋2＝，整理得

13、x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋16＋y1y2＝0．由(2)得y1y2＝－15，所以x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋1＝0，令y＝0得x2－8x＋1＝0，所以x＝4±，所以圆C过定点(4±，0)．【总结与反思】定点问题常见的2种解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．例题1类型二定值问题已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，

14、△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2＋y2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k·k′为定值．【解】(1)因为△EFF1的周长为8，所以4a＝8，所以a2＝4，又椭圆C与圆x2＋y2＝3相切，故b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为y＝k(x－1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＋＝1，整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k

15、2－12)＞0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝．直线AE的方程为y＝(x－2)，令x＝4，得点M，直线AF的方程为y＝(x－2)，令x＝4，得点N，所以点P的坐标为．所以直线PF2的斜率为k′＝＝＝·＝·，将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得k′＝·＝－，所以k·k′为定值－1．【由题悟法】定值问题常见的2种求法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中