椭圆中的定点、定值问题.doc

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1、解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。例1、（2017盐城高三三模18）已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时

2、，.（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；（3）记圆为椭圆的“关联圆”.若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证：为定值.学科*网解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，得，解得.又，所以，解得.（2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，所以，代入椭圆的方程，解得，因为点在第一象限，所以，同理可得，所以，由（1）知，得，所以.（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，圆的方程为①.连接，由题意可知，

3、，，所以四边形的外接圆是以为直径的圆，设，则四边形的外接圆方程为，即　　②.（注：以为直径的圆的方程可以直接写出）由①－②，得直线的方程为，令，则；令，则.所以，因为点在椭圆上，所以，所以.例2、（2018苏锡常镇高三二模）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．NDMCBAyxO（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为

4、1.得解得所以，椭圆的标准方程为.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,由，得直线BD的方程：①直线AC方程为②联立①②得，即=2法2：设D坐标为(x3，y3），由C,M,D三点共线得，所以①由B,D,N三点共线得，将代入可得②①和②相乘得，.例3、（2018苏北四市高三一模18）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的值；

5、（3）设直线，的斜率分别为，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设椭圆方程为，由题意知：解得：，所以椭圆方程为：（2）若，由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为由，得，解得（舍去）故（3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得　　　　　，因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，又在直线上，所以，同理，点坐标为，，所以，即存在，使得．例4、（2016泰州高三期末19）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与

6、圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点．解：（1）设，则，所以．（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．法二：设直线方程：与圆联立方程组，运用韦达定理解出坐标，证明在直线上，即可说明必过点（请同学们自己去尝试）注：对于任意的椭圆，过原点的任意一直线与椭圆交于两点，为椭圆上任意一动点，假设直线斜率都存在，则有证明：设,则，，因为在椭

7、圆上所以①，②由①-②得，化简得例5、（2017苏锡常镇高三一模18）已知椭圆右顶点为.过点作直线交椭圆于两个不同点求证：直线的斜率之和为定值.分析：法一：先考虑过的直线斜率不存在满不满足题意。若存在设直线方程，将直线与椭圆联立方程组消去得到一个关于的一元二次方程。设，根据韦达定理求出两根之和，两根之积。运用的坐标表达的斜率，化简得出结果。法二：设过的直线，分别与椭圆交于两点，将直线与椭圆联立方程组根据韦达定理解出的坐标，因为三点共线，可以用斜率相等或者向量共线得到的关系，进而得到答案。解：法一

8、：，当过的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点不符合题意。设过的直线方程：由得法二：，设过的直线，分别与椭圆交于两点，由得解得代入直线解得同理可得，因为三点共线，所以化简得：，即因为是两个不同的点，所以，所以，即直线，的斜率之和为定值，定值为巩固练习：·lTPOyxQ1、（2017南京盐城高三一模17）在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.B1B2PQOPxy2、（2018苏北六市二模17）