[精品]线性代数第五章习题课.ppt

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1、第五章习题课基本内容典型例题考试内容向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似变换、相似矩阵的概念及性质(相似同秩，但同秩未必相似)矩阵可相似对角化的充分必要条件(存在n个线形无关特征向量)及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形(只反映特征值的正负个数)和规范形(系数只能是1，-1，0)用正交变换(系数是特征值)和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考研大纲考试要求1．了解内积(交换线形分配)

2、的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特（Schmidt）方法．2．了解标准正交基(不是对称阵的特权)、正交矩阵的概念，以及它们的性质．3．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．4．了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．考研大纲5．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(n重特征值有n个线形无关的特征向量不同特征值所对应的特征向量必正交)．6．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念(与其矩阵表示同秩)，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以

3、及惯性定理(涉及到正负惯性系数)．7．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法(仅此法能判定二次型形状),会用配方法化二次型为标准形．8．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法(定义秩与E合同正惯性系数为零顺序主子式)．考研大纲定义１　向量内积的定义及运算规律定义向量的长度具有下列性质：２　向量的长度定义３　向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理定义４　正交向量组的性质施密特正交化方法第一步　正交化第二步　单位化定义５　正交矩阵与正交变换方阵　为正交矩阵的充分必要条件是　的行（列）向量都是

4、单位向量，且两两正交．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．定义若　为正交矩阵，则线性变换　　　称为正交变换．定义６　方阵的特征值和特征向量７　有关特征值的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８　有关特征向量的一些结论定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９　相似矩阵１０　有关相似矩阵的性质若　与　相似，则　与　的特征多项式相同，从而　与　的特征值亦相同．(4)能对角化的充分必要条件是　有　个线性无关的特征向量．(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似．１１　实对称矩阵的相似矩阵定

5、义１２　二次型二次型与它的矩阵是一一对应的．定义１３　二次型的标准形１４　化二次型为标准形定义１５　正定二次型１６　惯性定理注意１７　正定二次型的判定一、证明所给矩阵为正交矩阵典　型　例　题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知　的特征值，求与相关矩阵的特征值五、求方阵　的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵　可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形一、证明所给矩阵为正交矩阵证明将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化．二、将线性无关向量

6、组化为正交单位向量组解一先正交化，再单位化解二同时进行正交化与单位化第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．三、特征值与特征向量的求法第一步计算　的特征多项式；第二步求出特征多项式的全部根，即得　的全部特征值；解第一步　计算　的特征多项式第三步　求出　的全部特征向量解四、已知　的特征值，求与　相关矩阵的特征值解五、求方阵　的特征多项式解六、关于特征值的其它问题方法一方法二方法三解七、判断方阵　可否对角化解(1)可对角化的充分条件是　有　个互异的特征值．下面求出　的所有特征值．解第一步　求A的特征值．由八、利用正交变

7、换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形解第一步　将　表成矩阵形式解