§5.2__微积分基本公式.ppt

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1、例2.用定积分表示下列极限:解:定积分的概念和性质1例3.定积分的概念和性质2例4.试证:证:设则在上,有即故即定积分的概念和性质3§5.2微积分基本公式问题的提出积分上限函数及其导数Newton—Leibniz公式小结(v(t)和s(t)的关系)★☆☆fundamentalformulaofcalculus第五章定积分4通过定积分的物理意义,例变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为(v(t)和s(t)的关系)设某物体作直线运动,已知速度的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔一、问题的提

2、出其中积分的有效、简便的方法.找到一个计算定5如果能从v(t)求出s(t),这正是第四章已经解决了的微分运算的定积分的计算有捷径可寻进行一般性的讨论.运算.定积分运算就可化为减法启发不定积分问题.逆运算—6二、积分上限函数及其导数注一定要分清函数的与自变量x积分变量t.设f(x)在[a,b]中可积,则对任一点7积分上限函数下面讨论这个函数的可导性.8证定理1(原函数存在定理)因为从而9积分中值定理定积分性质3故10定理1指出:积分联结为一个有机的整体(2)连续函数f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.(

3、1)积分运算和微分运算的关系,它把微分和所以它是微积分学基本定理.函数—微积分,11推论12例解例解13例解14例解这是型不定式,分析应用L’Hospital法则15例解求极限2002年考研数学(三)5分16例2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=c≠0,故又由～,得微积分基本公式练习：设f(x)有连续的导函数时与同阶无穷小，则k=?17证例证明函数为单调增加函数.18为单调增加函数.故19证令为单调增加函数.证明:只有一个解.例所以原方程只有一个解.或20分析求必须先化掉积分号,只要对所给积分方程两边求导即可

4、.解对所给积分方程两边关于x求导,得练习需先求出即)1(2xx+][f21定理2（Newton-Leibniz公式）证牛顿(英)1642―1727莱布尼茨(德)1646―1716如果是连续函数的一个原函数,则都是f(x)在[a,b]因为上的原函数,故有C是待定常数,即有三、Newton—Leibniz公式)(aFC-=22牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式微积分基本公式特别,23微积分基本公式表明注求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区

5、间[a,b]上的增量.仍成立.24解解例例25解例26例汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解提示：首先要计算从开始刹车到停车所需的时间T,然后计算速度v(t)在时间区间[0,T]上的定积分.27例汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始

6、刹车到停车,汽车走了多少距离？于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解28例原式解面积例解平面图形的面积.所围成的29例解30例解由图形可知注如被积函数是分段函数,应分段分成几个再用牛—莱公式.积分,31练习解如被积函数有绝对值,注再用去掉后,N--L公式.应分区间将绝对值32例已知函数求积分上限的函数解分段函数错!33已知函数求积分上限的函数正确做法34例试证明:积分中值定理中的

7、可在开区间取得,即如果则至少存在一点使得证令由定理1(原函数存在定理)知:可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点使得即35练习2002年考研数学(二)填空3分填空题解原式36练习解原式=37例1求定积分：3839微积分基本公式积分上限函数(变上限积分)积分上限函数的导数牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．四、小结注意其推论.40思考题1问:对吗?错!分析其中的x对积分过程是常数,而积分结果是x的函数.若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的注意变量x及积分变量t的函数时,应注意x与t的区别.对x求

8、导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替换积分变量.41思考题1问:对吗?故正确解答因为42思考题2已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为2002年考研数学(一)7分43备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.442.求解：的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中45思考题46思考题解答47练习题4849505152