高数(下)04级工科,本科A卷(答案).doc

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1、学院数计出卷教师李刚(05.06.03)系主任签名制卷份数专业04级工科，本科A班级编号江汉大学2004——2005学年第2学期考试试卷课程编号：课程名称：高等数学Ⅰ（2）试卷类型：A、B卷考试形式：开、闭卷考试时间：120分钟题号一二三四五六总分总分人得分得分评分人一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.函数z=的定义域是(B)A.x+y>0;B.x+y<－1;C.ln(－x－y)0;D.－x－y1.2.设a>0,I=,交换积分次序得(A)A.I=;B.I=;C.I=;D.I=.3.设曲线C为椭圆4x2+y2=1,并取正向，则曲线积分=(

2、A)A.;B.－;C.0;D.2.4.下列级数中，绝对收敛的级数是(D)A.;B;;C.;D..5.在下列各微分方程中为一阶线性方程的是(C)A.;B.=x;C.=sinx;D..得分评分人二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1.设平面与x,y,z轴的截距分别为a=1,b=－1,c=－,则此平面的方程为x－y－3z=1.2.二元函数的极限=2.3.已知二元隐函数x2+y2+z2－2z=0,则全微分=.4.函数z=在点P(1,0)处沿从P(1,0)到点Q(2,1)的方向导数=.5.空间曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线方

3、程为，法平面方程为（x－1）+2(y－1)+3(x－1)=0.6.设均匀薄片所占平面区域D上半圆y=与y=0所围成，则该薄片的重心=0，=.7.设是下半球面z=－的下侧,则对坐标的曲面积分=0.8.幂级数1－x2+x4－………++…(－1

4、（4－3）+(4－2)=0，解得=，从而得投影面的方程为14x－43y+44z－68=0,于是，所求投影直线的方程为：.2.设z=,其中f具有二阶连续导数,求,.解:==+=x4+=+=++.3.计算三重积分I=,其中是由旋转抛物面z=1－x2－y2与平面z=0所围成的闭区域.解:用柱面坐标计算：0，01,0z1－I==2=……=4.计算曲线积分I=,其中L为沿曲线y=从点O(0,0)到点A(,0)的一段弧.解:由于=exsinx,=exsinx―1,―=―1,故可补线路用格林公式计算,:y=0,x由到0，I=―=――=―+0===25.将函数展开成x

5、―2的幂级数，并确定收敛区间.解:===ln3+=ln3+,―16..求微分方程的通解.解:特征方程：r2―2r―3=0.r1=―1,r2=3,=0不是特征方程的根，设特解为=b0x+b1,代人原方程得b0=―1，b1=，故特解为=―x+，所求通解为y=C1+C2e3x+―x+.得分评分人四、应用题（8分）求表面积为25而体积为最大的有盖长方体水箱的体积V.解:设长方体三棱长为x,y,z目标函数(体积):V=xyz,约束条件（表面积）为:=2xy+2yz+2xz―25=0,构造辅助函数F(x,y,z,)=xyz+(2xy+2yz+2xz―25)由（1）

6、x―(2)y得x=y,（1）x―(3)z得x=z将x=y=z代入（4）得x=y=z=，故唯一驻点（，，），由实际问题可知最大值存在，最大体积为V=.得分评分人五、证明题（本大题共2小题，共11分）1.设z=x,f为可微函数，证明：y―x―=0.(6分)证明：y=y[+x2x]=y+2x2yx=xx2y=2x2y=y代入左=…=右.1.设L是圆周的逆时针方向，f(x)是恒为正的连续函数，证明：.（综合题5分）证明：利用格林公式得=因为====故====2.