2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例高效演练分层突破文新人教A版.doc

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1、第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)A．－　　　　　　　　B．－C.D．解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝2，a·(a－2b)＝0，则

6、a＋b

7、＝(　　)A.B.C．2D．解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以

8、

9、a＋b

10、＝＝＝.故选A.3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)A．－B．－C.D．解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，

11、b

12、＝，

13、a

14、＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.4．(2020·四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足a·b＝0，

15、a＋b

16、＝m

17、a

18、，若a＋b与a－b的夹角为，则m的值为(　　)A．2B.C．1D．解析：选A.因为a·b＝0，所以

19、a＋b

20、＝

21、a－b

22、，因为

23、a＋

24、b

25、＝m

26、a

27、，所以(a＋b)2＝7m2a2，所以a2＋b2＝m2a2，所以b2＝(m2－1)a2.又a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，所以＝＝＝－.解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A.5．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)A．－B．0C．4D．－1解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2

28、)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝．解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.答案：7．已知点M，N满足

29、

30、＝

31、

32、＝3，且

33、＋

34、＝2，则M，N两点间的距离为．解析：依题意，得

35、＋

36、2＝

37、

38、2＋

39、

40、2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为

41、

42、＝

43、－

44、7＝＝＝4.答案：48．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中

45、a

46、＝

47、，

48、b

49、＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是，a·(a＋b)＝．解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为

50、a

51、＝，

52、b

53、＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝

54、a

55、2－a·b＝

56、a

57、2－

58、a

59、

60、b

61、cosθ＝3－2·cosθ＝0，解得cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝

62、a

63、2＋

64、a

65、·

66、b

67、·cosθ＝3＋2×＝6.答案：　69．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求

68、b

69、的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0

70、，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以

71、b

72、＝＝5.(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是.10．已知

73、a

74、＝4，

75、b

76、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

77、a＋b

78、；7(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4

79、a

80、2－4a·b－3

81、b

82、2＝61.又

83、a

84、＝4，

85、b

86、＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.(

87、2)

88、a＋b

89、2＝(a＋b)2＝

90、a

91、2＋2a·b＋

92、b

93、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以

94、a＋b

95、＝.(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又

96、

97、＝

98、a

99、＝4，

100、

101、＝

102、b

103、＝3，所以S△ABC＝×4×3×＝3.[综合题组练]1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)A.B．3C．1D．2解析：选C.由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝

104、

105、·

106、

107、cos∠BAC