《导数应用》PPT课件.ppt

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1、第11课时　导数应用1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果，那么f(x)在这个区间内为常数．【思考探究】1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0吗？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．f′(x)＞0f′(x)＜0

2、f′(x)＝02．函数的极值与导数在包含x0的一个区间(a，b)内，函数f(x)在任何一点的函数值x0点的函数值，就说f(x0)是函数f(x)的一个极值，记作y极大(小)值＝f(x0)，x0是极大(小)值点．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．不大于(小于)大(小)3．函数的最值(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的．②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中

3、最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)【思考探究】2.极值点一定是最值点这句话对吗？提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点．答案：B2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值

4、点解析：设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.答案：C答案：B4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则f′(1)＝0⇒a＝3.答案：35．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是___

5、_____．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．【注意】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．【变式训练

6、】1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好通过列表法)．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值．(2010·安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(

7、x)的单调区间与极值．【变式训练】2.已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解y′＝3x2－6x<0，得0

8、和最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇