【精品】场论与矢量分析.doc

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1、1.2柱坐标系和球坐标系在实际应用屮，有时采用圆柱坐标系或球坐标系能使分析问题更简洁、明了。下面我们来介绍柱坐标系和球坐标系及三种坐标系Z间的转换。图1-4圆柱坐标系一点的投影图1-5圆柱坐标系三个互相垂直的坐标面一、圆柱坐标系空间任一点尸的位置也可以圆柱坐标系屮的三个变量（Q0Z）来表示，如图1.4所示,其屮，。是位置矢量oP在卩面上的投影，©是从正兀轴到位置矢量在卩面上的投影Z间的夹角，z是0P在z轴上的投影。由图1・4可以看岀，圆柱坐标与直角坐标Z间的关系为(1-2-1)X=QCOS0

2、面，P的变化范伟I为°P§a。/、■V（P=arctan—坐标面匕丿二常数（1-2-3）是一个以z轴为界的半平血，©的变化范围为°W0<2兀。坐标血z二常数（1-2-4）是一个平行于勺‘平面的平面。z的变化范围为-85z5+8。由于三个血相交成育角，便能够建立互相垂直的坐标轴：P、©和z。相应的单位矢量为"“、皱和化，分别指向°、炉和z增加的方向。值得注意的是与直角坐标系的不同点,即除比外,◎和釀都不是常矢量,它们的方向随P点的位置不同而变化,但伟、%和乞三者总保持正交关系，并遵循右手螺旋法则，即(125)圆柱坐标系的位置矢量可以表示为单位矢量""和"0在单位矢量°、•和"丿上的投影示

3、于图1-6,显然af>=axcos(p+avsin(p和=ax(-s(p)+avcos(p所以，从頁角坐标到闘柱坐标系单位矢最的变换写成矩阵形式图1-6闘柱坐标系单位矢量的变换COS0sin©0■B%=-sinCOS000015C1-2-9)(1-2-8)将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到肓角坐标的转换关系为COS0=sin(p-sin^90apcos©0(1-2-10)如果矢量力是在圆柱坐标系给定的，根据式(1-2-10)可以变换成直角坐标系的表达式，反Z,若矢量A是在直角坐标系给定的，则根据式(1-2-9)可以变换成圆柱坐标系的表达式。P沿P、0和z方向的长度增量分别dip二dp

4、,d打二pd(p,dl2=dz它们各自坐标增量z比分别为2—1dpd(pdlzdz=1沿圆柱面、0二常数平面和Z二常数圆盘平血的三个的血元矢量分别为dSp=appd(pdz(1-2-12)(1-2-13)(1-2-14)dSg=azpd(pdp(1-2-15)柱坐标的体积元为dV二pdcpdpdz(1-2-16)二、球坐标系在球坐标系中，空间一点P的唯一地用三个坐标变量为(厂"4)來表示，如图1-7所示。此处，厂即是位置矢量尸的大小，乂称为矢径(radiusvector),0是位置矢量厂与z轴的夹角,炉是从正兀轴到位置矢量『在卩面上的投影oM之间的夹角。&二常数厂=常数由图1-7可以看

5、出，球坐标与岚角坐标Z间的关系为x=厂sin&cose(1-2-17)

6、•的投感I2,2—2坐标面+尹+z(1-2-18)是一个半径为厂球面，厂的变化范围为05厂5co。&二常数是一个以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面，&的变化范围为05&5龙。(P=arctan—坐标曲丿二常数(1-2-19)是一个以z轴为界的半平面，(P的变化范围为°<0<2龙。球坐标系的位置矢量可以表示为过球坐标系屮任意点戶(厂60)的三个单位矢量为乞、和S,它们互相正交且遵循右手螺旋法则。J5=a(p,a0x皱=ar,a(px

7、ar=a0(1-2-21)=ae^a0=0色"•二勺S严％%=1J(1-2.22)单位矢量色、勺和％在单位矢量役、©和①上的投影分别示于图l-9(a)(b)(c)o市图1・9可以得到由肓角坐标变换到球坐标的关系式©sin0cos0sin&sin0cos3■»ae=COS&COS0cos〃sin©-sm0ay—sin©COS00az同样，将上式求逆即可得到由球坐标变换到肓角坐标的关系式(1-2-23)sin&cos©cos&cos。_sin°aray—sin&sincpcos&sincpCOS0aoazCOS0-sin&0(1-2-24)如果矢量人是在球坐标系给定的，根据式(1・2・24

8、)可以变换成育角坐标系的表达式,反Z,若矢量A是在直角处标系给定的，则根据式(1-2-23)可以变换成球坐标系的表达式。P沿厂、〃和°方向的长度增量分别为dlr=dr,dl0=rdd,dl^=rsinOd(p它们备自坐标增量Z比分别为/?,=—=!/?.=—=rh3=-r=厂sin0'dr,_dO,'d(p(1-2-26)沿球面、〃二常数平面和卩二常数平面的三个的面元矢量分别为dSr-arr~sin6dGd(p(1-2-27)dSG=adrs