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1、矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一•部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。第1章矢量分析在矢量代数屮，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题屮，也常遇到模和方向改变或其屮之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是
2、变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量Z间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。§1」矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数(简称矢函数)的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。1、矢函数的概念定义1.1.1设有数性变量f和变矢A,如果对于f在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量F的矢量函数，记作A=A(r)(1」」)并称D为矢函数A的定义域。在Oxw直角坐标系屮，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A(r)={Av(r),Av(r),AXO}
3、(1丄2)其屮人⑴,心⑴,厶⑴都是变量『的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，•个矢函数相半于三个数性函数。本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A(/)的起点取在坐标原点。这样半/变化时，A(f)的终点M就描绘出一•条曲线/(图1.1),这样的曲线称为矢函数A(f)的矢端曲线，也称为矢函数A⑴的图形。同时称(1.1.1)式或(1.1.2)式为此曲线的矢量方程。愿点。也称为矢端曲线的极。由于终点为M(x,y,z)的矢量丽对于原点0的矢径为r—0M=xi+yj+zk当把A⑴的起点取在坐标原
4、点吋，A⑴实际上就成为其终点M(x,y,z)的矢径，因此A⑴的三个坐标AV(O,AV(O,4⑴就对应地等于其终点M的三个坐标即x=Aa.⑴,y=Av(r),=Az(t)(1.1.3)此式就是曲线/的参数方程。只是模变化血方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为屮心模为半径的球面上的某一曲线。2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2设矢函数A(f)在点匚的某个领域内有定义(但在—处可以无定义)，A。为一常矢。若对于任意给定的正数£,都存在一个正数力，使当/满足0v/—厲v力时，就有IA(0—A
5、olfoS(1.1.7)lim[A(t)xB(r)]=limA(f)xlimB(r)fT"!t(1.1.8)其中％(/)为数性函数，A(r),B(f)为矢函数;且r
6、->/0时，“(0,A(r),B(f)的极限均存在。若设A(r)=Ax(r)i+Av(t)j+Az(r)k则由法则(1.1.6)与(1.1.5)有limA(r)=limAV(Z)i+limA(f)j+limA.(r)k(1.1.9)fTb/T/°即求…个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。定义1.1.3若矢函数A(°在-的某个邻域内有定义，且有limA(r)=A(r0)(1.1.10)则称A⑴在/=5处连续。即矢函数A⑴在r。处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数人(r),4),⑴,⑴都¥匸to处连续。若矢函数A(0在某个区间内的每一
7、点处都连续，则称函数A(r)在该区间内连续。或称A⑴是该区间内的连续函数。§1.2矢函数的导数与微分矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系屮，一个矢量与三个数量(坐标)构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。1、矢函数的导数设有起点在原点O的矢函数A(『)，当数性变量/在其定义域内从/变到0)时，对应的矢量分别为A(/+d)=顾如图1.2.1,贝I」A(r+Ar)=O^V・A(t)=MN称为矢函数A⑴的增量，记作△A(r),即△A(r)=A(r+Ar)・A⑴据此，我们给出矢函数的导数定义。定义1
8、.2.1设矢函数A(/)在点f的某一个邻域内有定义，并设/+△/也在这邻域内，若A⑴对应于&的增量△A⑴与dZ比酗)_他+$)_他)ArAr半&T0时，其极限存在，
