高等代数第二版课件§3[1].4-矩阵的秩.ppt

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1、§3.4矩阵的秩上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。定义15所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。例3.4.1求矩阵的行秩和列秩。解：A的行向量组是：其极大线性无关组是：故A的行秩为3。又A的列向量为则列向量组的极大线性无关组为故A的列秩也是3。问：矩阵A的行秩是否等于列秩？为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组的解联系起来。引理：如果齐次线性方

2、程组（3.4.1）的系数矩阵的行秩r

3、向量组，由于行秩为r，不妨设是它的一个极大线性无关组。因为线性无关，故方程组只有零解。此即齐次线性方程组只有零解。由引理知，这个方程组的系数矩阵的行秩因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组由上一节的性质5知，其延长向量组：线性无关。也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性无关，故知A的列秩同理可证：，因此有r=s。由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。定理5矩阵的行列式为零的充要条件是A的秩小于n。证：充分性显然：设A的秩=r

4、量组。不妨设是列向量组的极大无关组。设考虑A的行列式必要性：若，我们对n用归纳法证明。当n=1时，由知A仅有一个元素就是0，故A的秩为0<1。假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这n个元素有一个不为0，不妨设，则从第二列直到n列分别加上第一列的倍数这样，在把消为零的过程中，行列式化为其中由于，故n-1阶矩阵由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组也线性相关，即存在不全为零的数，使整理得因此线性相关，它的秩小于n。推论：齐

5、次线性方程组，有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式为0。结论的必要性由Cramer法则立得，结论的充分性是定理5的推论。再考虑一般矩阵的秩与行列式的关系。定义16在一个矩阵A中任意选定k行，k列，。位于这些选定的行和列的交叉位置上的个元素按照原来的顺序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式。定理6矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个r级子式不为零，而所有的r+1级子式全为零。证明：必要性：设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的极大线性无关组为r。因而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩

6、阵A的任意r+1级子式的行向量也线性相关。由定理5知，这种子式全为零，下证A中至少有一个r级子式不为零。设，秩A=r。A中极大无关组的个数为r，不妨设这r个向量正是前r个行向量（不然，可以调换行向量的位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这r个向量取出来，作成新的矩阵矩阵的行秩为r。因而其列秩也为r，即的列向量组的极大无关组个数也是r个，不妨设就是前r列线性无关，因而。它是矩阵A的一个r阶子式。充分性：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即无关，又根据线性无关向量组的延长

7、向量组也线性无关知，A中前r个向量是线性无关的。由于A中所有r+1阶子式全为零，因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出A中有一个r+1阶子式不全为零），可见矩阵A的其他行向量可由这r个。由定理5知这r个行组成的向量组线性向量线性表示。故矩阵行向量的秩为r，从而矩阵的秩为r。如何求矩阵的秩？例3.4.2求的秩解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何四阶子式均为0，故秩，现找到一个三阶子式，故知A的秩为3。从例3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。定理7初等变换不改变矩阵

8、的秩。例3.4.3求矩阵的秩。解：故秩A=3。定理8秩为r的矩阵A可通过初等变换化为如下标准形：作业P15618(1)(5)