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1、一、填空题1、平面点集的内部为,边界为.解2、平面点集的聚点集为.解3、设,则函数的定义域为.解4、设则,=.解5、函数的间断点集为.解二、选择题1、函数(D)A、闭区域B、开区域C、开集D、闭集解是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.2、函数的定义域是(C)A、有界开集B、有界闭集C、无界闭集D、无界开集解的定义域是是无界闭集.3、以下说法中正确的是(A)A、开区域必为开集B、闭区域必为有界闭集C、开集必为开区域D、闭集必为闭区域4、下列命题中正确的是(A)A、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C、如果二重
2、极限不存在,则累次极限也不存在;D、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.5、下列说法正确的是(A)A、有界点列必存在收敛的子列;B、二元函数在D上关于,均连续,则在D上连续;C、函数在有界区域D上连续,则在D上有界;D、函数定义在点集上,,且是D的孤立点,则在处连续.三、用定义证明证明由于当时故有故四、求下列极限1、解当时,而所以.2、解因为所以.一、填空题1、设,则,.解2、设,则,.解3、设,则.解4、设,则=.解5、求曲面在点处的切平面方程为,法线方程.解故曲面在点处的切平面方程为,即法线方程为,即二、选择题1、设在点处偏导数存在,则=(C)A、
3、B、C、D、解2、设在点处存在关于的偏导数,则(A)A、B、C、D、解3、函数在点(0,0)处有(D)A、连续且偏导数存在B、连续但偏导数不存在C、不连续且偏导数不存在D、不连续但偏导数存在解当沿趋于时当沿趋于时故不存在,于是函数在点(0,0)处不连续.在原点存在偏导数且4、在点处的某邻域内偏导数存在且连续是在该点可微的(B)A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件解P175定理25、下面命题正确的是(C)A、若在连续,则在的两个偏导数存在;B、若在的两个偏导数存在,则在处连续;C、若在可微,则在的两个偏导数存在;D、若在处的两个偏导数存在,则在
4、处可微.解P172定理1三、求解下列各题1、求曲面上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面,并写出这切平面方程和法线方程.解设所求的点为.由于故于是曲面在点的切平面方程为由已知切平面与平面平行,故于是,故所求的点为.曲面在点的切平面方程为,即法线方程为,即2、讨论函数在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解且.在点的连续.在点存在偏导数且.当沿趋于时当沿趋于时故极限不存在,从而极限不存在,即在点不可微.一、求下列复合函数的偏导数或导数1、求解2、求解令,则函数由函数复合而成,记,则二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求在点沿的方向导数.解由于
5、的方向余弦为所以2、求在点处沿到点的方向上的方向导数.解由于,故它的方向余弦为所以一、填空题1、如果,则有.解如果函数在点的某邻域内存在二个混合偏导数与,并且它们在点连续,则.2、设,则.解3、二元函数在点的泰勒公式为.解在点的泰勒公式为4、函数在稳定点处取得极大值,且极大值是.解令得稳定点.由于故函数在稳定点取得极大值,且极大值是.5、设存在偏导数,且在处取得极值,则必有.解二、选择题1、二元函数在点处取得极小值,则点的坐标是(A)A、(1,0)B、(1,2)C、(-3,0)D、(-3,2)解令得稳定点.由于在点,在点,在点,在点,故函数在点,不取得极
6、值,在点取得极小值,在点取得极大值.2、二元函数的极小值点是(C)A、(-1,-1)B、(0,0)C、(1,1)D、(2,2)解令得稳定点.由于故函数在点取得极小值.3、关于二元函数下列论断①在取得极值,则是的稳定点;②是的稳定点,则在取得极值;③在不存在偏导数,则在不会取得极值;④为极小值点.其中正确的个数是(A)A、0B、1C、2D、3解①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如在点取得极小值,但点不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点是稳定点,但却不是极值点.③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如在点的偏导数不存在,但
7、点是该函数的极小点.④错误:令得稳定点.由于故函数在点不取得极值.4、如果点为的极值点且存在,则它是的(B)A、最大值点B、稳定点C、连续点D、最小值点解P200定理35、下列命题中,正确的是(D)A、设点为函数的稳定点,则它一定是极值点;B、设点为函数的极值点,则它一定是稳定点;C、设点为函数的稳定点且,则它不是极值点;D、设点为函数的稳定点且,则它不是极值点.解P201定理4三、求解下列各题1、求函数的极值.解令得稳定点和.对于点,故点不是极值点.对于点,故点是极大点,极大值为.2、在平面上求一点,使它到三直线及的距离平方和最小.解设为平面上任一点,
8、则它到三直线及的距离平方和为于是问题转化为求函数在上的最小值.令得在上的唯一稳定
