3、插值多项式构造一个(相对简单的)函数y=f(x),通过全部节点,即nn−1L(x)=ax+ax+L+ax+a(1)nnn−110f(xj)=yj(j=0,1,Ln)求aiL(x)=y(j=0,1,Ln)XA=Y(2)**njj再用f(x)计算插值，即y=f(x).nn−1⎡x0x0L1⎤⎡an⎤⎡y0⎤y*⎢⎥⎢⎥⎢⎥©••X=⎢L⎥,A=⎢M⎥,Y=⎢M⎥y••1⎢xnxn−1L1⎥⎢a⎥⎢y⎥y•⎣nn⎦⎣0⎦⎣n⎦0x*xQdet(X)≠0(在什么条件下）∴(2)有唯一解0x1xn1nn−1L(x)=ax+ax+
4、L+ax+a(1)三种插值nnn−1101.2误差估计三种插值方法1.1拉格朗日插值多项式XA=Y(2)方法(n+1)ng(ξ)nR(x)=g(x)−L(x)=∏(x−x),ξ∈(a,b)nnjLn(x)=∑yili(x)(3)(n+1)!j=0i=0ng(n+1)(ξ)≤MMn+1(x−x0)L(x−xi−1)(x−xi+1)L(x−xn)n+1Rn(x)≤x−xjli(x)=(x−x)L(x−x)(x−x)L(x−x),i=0,1Ln(n+1)!∏i0ii−1ii+1inj=0⎧1,i=jlx()i如何使误差R(x
5、)减小（粗略地看）Qli(xj)=⎨∴Ln(xj)=yj基函数n⎩0,i≠jx接近xjg平缓n增加又（2）有唯一解，故（3）与（1）相同。1.3拉格朗日插值多项式的振荡三种插值2.分段线性插值三种插值方法n↑⇒L(x)?⇒R(x)↓?•方法nn••1•g(x)=,−5≤x≤52•1+x•n2取n=2,4,6,8,10,计1.5n=10In(x)=∑yjlj(x)x0xj-1xjxj+1xnj=01y=1/(1+x2)算L(x),画出图形n=4n=2n=6x−xn0.5⎧j−1⎪,xj−1≤x≤xj计算量与n无关;0⎪x
6、j−xj−1-0.5⎪n=8⎪x−xj+1n越大，误差越小.Matlab.lnk-1l(x)=⎨,x≤x≤xjjj+1x−xRunge.m-1.5⎪jj+1-505⎪0,其它limIn(x)=g(x),x0≤x≤xnRunge现象⎪n→∞limLn(x)=g(x),−3.63≤x≤3.63⎪⎩n→∞3.三次样条插值3.三次样条插值数学样条（spline）三种插值方法S(x)={s(x),x∈[x,x],i=1,Ln}样条函数的由来ii−1i321)s(x)=ax+bx+cx+d(i=1,Ln)iiiii2)S(xi)=
7、yi(i=0,1,Ln)4n个待定系数2机翼下轮廓3)S(x)∈C[x0,xn]ai,bi,ci,di线细木条：样条si(xi)=si+1(xi),si′(xi)=si′+1(xi)3）3’）si′′(xi)=si′′+1(xi)(i=1,n−1)飞机、船体、汽车外形等的放样（设计）2），3’）共4n-2个方程2三种插值方法小结三次样条三次样条插值确定4n个系数需增加2个条件插值•拉格朗日插值（高次多项式插值）：4)S′′(x)=S′′(x)=0(自然边界条件）曲线光滑；误差估计有表达式；收敛性0n不能保证（振荡现象）
8、。2)3)4)⇒a,b,c,d⇒S(x)iiii用于理论分析，实际意义不大。limS(x)=g(x).n→∞•分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑（三次样条插值已大有改进）；误差估思考1）自然边界条件的几何意义是什么？计较难（对三次样条插值）；收敛性有保证。2）样条插值为什么普遍用3次多项式，简单实用，应用广泛。而
