清华大学《信号与系统》第四讲.pdf

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1、信号与系统信号与系统陆陆建建华华清华大学电子工程系清华大学电子工程系20052005年春季学期年春季学期上节课要点冲激函数匹配法定义相对单位跳变函数Δu(t)：Δu(t)1⎧10−t>0∫+−⎩−∞2清华大学电子工程系陆建华上节课要点冲激函数匹配举例2di(t)di(t)+7+10i(t)=2δ′(t)+12δ(t)+8Δu(t)2dtdt2di(t)设：=aδ′(t)+bδ(t)+cΔu(t)2dt⎧⎪i(0)−i(0)=a+−⎧

2、di(t)⎪⎪=aδ(t)+bΔu(t)⎪di(0+)di(0−)⎨dt⎨−=b⎪dtdt⎪⎩i(t)=aΔu(t)⎪22di(0)di(0)+−−=c⎪22⎩dtdt3清华大学电子工程系陆建华上节课要点LTI系统响应的可分解性：零输入响应+零状态响应零输入响应：与输入激励无关，只有起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应，记r(t)zi零状态响应：r(0)≡0，只有外加激励产生响应，记rzs(t)−零输入响应零状态响应t→−∞t→∞t=04清华大学电子工程系陆建华第二章连续时间系统的时域分析§2.5冲激响应与阶跃响应(一)冲激响应Impu

3、lseresponse系统对δ(t)零状态响应h(t)求解冲激响应，用冲激函数匹配法。在δ(t)作用下，等式右端将出现δ(t)及其导数项nn−1dr(t)dr(t)dr(t)C+C+"+C+Cr(t)0n1n−1n−1ndtdtdtmm−1de(t)de(t)de(t)=E+E+"+E+Ee(t)0m1m−1m−1mdtdtdt5清华大学电子工程系陆建华§2.5冲激响应与阶跃响应当t≥0时无激励⇒强迫响应项为零，因而冲激的作+用是决定初始条件，即改变0+状态值，而状态值0+决定齐次解系数[A]。例2-9对例2-5所示电路i(t)求对e(t)

4、=δ(t)的冲激响应22di(t)di(t)de(t)de(t)Recall+7+10i(t)=+6+4e(t)22dtdtdtdte(t)=δ(t)δ′′(t)+6δ′(t)+4δ(t)−2t−5t齐次解i(t)=h(t)=A1e+A2e(注意t≥0+，不含t=0)6清华大学电子工程系陆建华§2.5冲激响应与阶跃响应−2t−5t齐次解i(t)=h(t)=Ae+Ae122dh(t)令=aδ′′(t)+bδ′(t)+cδ(t)+dΔu(t)2dt⎧dh(t)⎪=aδ′(t)+bδ(t)+cΔu(t)⇒⎨dt⎪⎩h(t)=aδ(t)+bΔu(t

5、)代入：[aδ′′(t)+bδ′(t)+cδ(t)+dΔu(t)]+7[aδ′(t)+bδ(t)+cΔu(t)]+10[bΔu(t)+aδ(t)]=δ′′(t)+6δ′(t)+4δ(t)⇒a=1，，，b=−1c=1d=3(不必求出)7清华大学电子工程系陆建华§2.5冲激响应与阶跃响应⎧h(0+)=b+h(0−)=b=−1⎧A1+A2=−1⇒⎪⇒⎨⎨dh(0)+−2A−2A=1⎪=C=1⎩12⎩dt⎧4A=−1⎪⎪3⇒⎨⎪1A=⎪2⎩3注意：h(t)中有δ(t)项(a=1)，而齐次解只是t≥0+的解，因此应补上⎛4−2t1−5t⎞⇒h(t)=

6、δ(t)+⎜−e+e⎟u(t)⎝33⎠8清华大学电子工程系陆建华§2.5冲激响应与阶跃响应注意：在线性常系数微分方程描述的系统中，一般响应端的阶数高于激励端，n⎛⎞即n>m，此时h(t)=⎜∑Aeαkt⎟u(t)(无重根时)k⎝k=1⎠若n≤m则h(t)还将含有δ(t)及其相应阶的导数(m−n)(m−n−1)δ(t),δ(t),",δ′(t)9清华大学电子工程系陆建华§2.5冲激响应与阶跃响应(二)阶跃响应UnitStepResponse系统对u(t)的零状态响应g(t)g(t)求法与h(t)类似。但可能有强迫项可以用h(t)与g(t)关系

7、由h(t)求g(t)δ(t)LTIh(t)u(t)g(t)tttu(t)=∫δ(τ)dτ⇒g(t)=∫h(τ)dτ=∫h(τ)dτ(t>0)−∞−∞010清华大学电子工程系陆建华§2.5冲激响应与阶跃响应t或g(t)=⎡∫h(τ)dτ⎤u(t)⎢⎣0⎥⎦h(t)由系统本身决定，反映系统性能，如因果特性，通常定义当t<0时，h(t)=。0思考题9：例2-10中通过h(t)的积分求g(t)，(提示：h(t)为例2-9结果)11清华大学电子工程系陆建华第二章连续时间系统的时域分析§2.6卷积Recall：任意信号可以用冲激信号的组合表示，即∞e(

8、t)=∫e(τ)δ(t−τ)dτ−∞将它作用到冲激响应为h(t)的LTI系统，则系统的响应为∞∞r(t)=H[]e(t)=H⎡∫e(τ)δ(t−τ)dτ⎤=∫e(τ)H[δ(t−