模糊集的基本运算.ppt

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1、第二章模糊集的基本运算一.模糊集的表示方法模糊集合是论域X到[0,1]的映射,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,还有以下的表示方法：1)序偶表示法A={(x,A(x)

2、xX}.例如:用集合X={x1,x2,x3,x4}表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为:0.55,0.78,0.91,0.56,则以此评价构成的模糊集合A记为:A={(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56)}.2)向量表示法当论域X={x1,x2,…,xn}时,X上的模糊集A可表示为向量A

3、=(A(x1),A(x2),…,A(xn)).模糊集“帅哥”A可记为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。3）Zadeh表示法当论域为有限集{x1,x2,…,xn}时,模糊集合可表示为A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn.注意,这里仅仅是借用了算术符号+和/,并不表示分数和运算,而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:模糊集“年轻”A可表示为注意：当论域明确的情况下,在序偶和Zadeh表示法中,隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。例如,论域X

4、为1到10的所有正整数,模糊集“近似于5”A可表示为：或或二.典型的隶属函数构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”,即参考一些典型的隶属函数,通过选择适当的参数,或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。下面介绍典型隶属函数。1.偏小型降半矩形分布,降半Γ形分布,降半正态分布,降半柯西分布,降半梯形分布,降岭形分布。2.偏大型升半矩形分布，升半Γ形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布,其中取a=1/5,b=25,c=2.“年老”模糊集合的隶属函数为升半柯西分布,其中取a=1/5

5、,b=50,c=2.3.中间型(对称型)矩形分布,尖Γ形分布,正态分布,柯西分布,梯形分布,岭形分布。三.模糊集上的运算几点说明经典集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0,1两个值的模糊集)。设X为非空论域,X上的全体模糊集记作F(X).于是,P(X)F(X),这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).特别地,空集的隶属函数恒为0,全集X的隶属函数恒为1,即、X都是X上的模糊集。2.模糊集的包含关系设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB当且仅当属于A的元素都属于B.易证AB当且仅当对任意xX有CA(x)CB(x).X1X1

6、定义设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。称A包含于B(记作AB),如果对任意xX有A(x)B(x).这时也称A为B的子集。X1A(x)B(x)例论域X={x1,x2,x3,x4}时,X上的模糊集A为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集B为:B=(0.35,0.52,0.65,0.37).则根据定义有BA.帅哥超男定义论域X上的模糊集A与B称为是相等的,如果AB且BA,即对任意xX有A(x)=B(x).3.模糊集的并设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。A∪B={xX

7、xA或xB}.易证CAB(x)=max{CA(x),CB(x)}=

8、CA(x)CB(x).X1X1定义设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。A与B的并(记作A∪B)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(A∪B)(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∪B)(x)4.模糊集的交定义非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作A∩B)是X上的一个模糊集,其隶属函数为(A∩B)(x)=min{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∩B)(x)5.模糊集的补定义非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X上的一个模糊集,其隶属函数为A(x)=1A(x),xX.注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情

9、形,即对任意指标集I,若Ai是X上的模糊集,iI.则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:例设论域X={x1,x2,x3,x4}为一个4人集合,X上的模糊集合A表示“高个子”:A={(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4)}.模糊集合B表示“胖子”:B={(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4)}.则模糊集合“高或胖”为:A∪B={(x1