二项分布方差公式推导.doc

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1、二项分布方差公式推导若ξ～B(n,p)，q=1-p，求证Dξ=npq∵Eξ=np， kCnkpkqn-k=nppk-1qn-k,kk Cnkpkqn-k=np[(k-1)pk-1qn-k＋pk-1qn-k]=np[(n－1)ppk-2qn-k＋pk-1qn-k]而Dξ=，∴Dξ=(1×1×Cn1p1qn-1＋2×2 Cn2p2qn-2＋…＋k×k Cnkpkqn-k＋…＋n×nCnnpnq0)=np(1×Cn-10p0qn-1＋2Cn-11p1qn-2＋3Cn-12p2qn-2＋…＋k Cn-1k-1pk-1qn-k＋…＋nCn-1

2、n-1pn-1q0)－2np Eξ＋n2p2(p＋q)n=np{[0×Cn-10p0qn-1＋1Cn-11p1qn-2＋2Cn-12p2qn-2＋…＋(k-1) Cn-1k-1pk-1qn-k＋…＋(n-1)Cn-1n-1pn-1q0]＋(Cn-10p0qn-1＋Cn-11p1qn-2＋Cn-12p2qn-2＋…＋Cn-1k-1pk-1qn-k＋…＋Cn-1n-1pn-1q0)}=np[Eη＋(p＋q)n-1]=np[(n－1)p＋1]=np(1－p)=npq.