高考数学复习-函数与方程基础(2).doc

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1、函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点1.函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实

2、数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图

3、象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就

4、是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x1＜x2＜k时，有；②当k＜x1＜x2时，有；③当x1＜k＜x2时，；④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．（

5、2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．①；②；③；④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值

6、x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精

7、确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数．（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的

8、函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值