同余理论在数学竞赛比赛中的应用_combined.pdf

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1、目录1．前言...................................................................................12．同余的基本理论知识............................................................22.1同余的定义和性质............................................................22.2剩余类和完全剩余系.......................................

2、.................32.3孙子定理和费马小定理.....................................................43．同余理论在数学竞赛中应用................................................103.1分类法..........................................................................103.2特殊化法...............................................

3、........................123.3数学归纳法....................................................................153.4奇偶分析法....................................................................183.5构造法..........................................................................203.6枚举法...............

4、...........................................................213.7反证法..........................................................................23参考文献................................................................................25致谢......................................................

5、...........................261．前言在世界上，以数学为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理向人类的智慧挑战了300年；18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛；19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现．无论国内还是国外，在数学竞赛活动中都出现了一些优秀

6、的数学人才．随着时代的发展，数学竞赛本身也出现了很多的改革，尤其是1959年在罗马尼亚成功举行的第一届国际数学奥林匹克（InternationalMathematicalOlympiad，简称IMO），揭开了国际范围的数学竞赛活动的序幕，为各国数学优秀生同场竞技提供了一个宽广的舞台．数学竞赛近10年的迅猛发展使之成为一门特殊的数学学科——竞赛数学．初等数论是研究数的规律，特别是研究整数性质和方程（组）整数解的数学分支．它不但有着悠久的历史，而且有着强大的生命力，素有“数学皇后”的美称．初等数论的主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和不定方程．国际数学奥林

7、匹克（IMO）从1959年至今，已经举行了45届比赛，大致统计，在总共近300道题目中，-1-同余理论在数学竞赛中的应用可以用初等数论的知识来解答及与初等数论知识有关的约占31.5%，如果加上需要用到一点数论知识去解的题，那所占比重就更大了．而同余又是初等数论的一个重要知识组成部分．研究同余理论在数学竞赛中的应用有利于知识的系统化，并对教育活动与教学研究起到了巩固基础、发散思维的作用．现阶段的同余在数学竞赛中的研究已经达到了一定高度，虽然对于同余的定理与解题已趋于系统化，可是对解题方法与在数学竞赛中的应用尚不完备，因此，研究同余理论在数学竞赛中的应用有着一定的地位

8、．2．同余