《傅里叶积分变换》PPT课件.ppt

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1、积分变换§1傅里叶（Fourier）积分变换§2拉普拉斯(Laplace)积分变换主要内容注：积分变换的学习中，规定：§1傅里叶（Fourier）积分变换傅里叶变换——又简称为傅氏变换内容：傅氏变换概念卷积与相关函数傅氏变换性质一、傅氏变换1．傅氏积分定理若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：（1）f(t)在任一有限区间上满足条件：f(t)至多有有限个第一类间断点和极值点；（2）f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分收敛），则有（1）成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以来代替。2．傅氏变换的概念若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件

2、，则在f(t)的连续点处，式（1）成立。设则（2）（3）从上面两式可以看出，f(t)和F(ω)通过指定的积分运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式，记为F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆变换式，记为f(t)叫做F(ω)的象原函数。（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换；（3）式右端的积分运算，叫做取F(ω)的傅氏逆变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个傅氏变换对。FF-13．例子例1求指数衰减函数函数的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。解：根据（2）式，傅氏变换为F通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积

3、分表达式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的结果：4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）设定义单位脉冲函数为单位脉冲函数的一些性质：若f(t)为无穷可微的函数，则a.b.证明记更一般地有单位脉冲函数的傅氏变换c.证明FF例3证明单位阶跃函数变换为的傅氏解：只需证明的傅氏逆变换为u(t)。F-1由于故这表明的傅氏逆变换为u(t)。u(t)和构成了一个傅氏变换对。同时得到单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式所以1和构成了一个傅氏变换对;和也构成了一个傅氏变换对。类似的方法可得F-1F-1例4求正弦函数的傅

4、氏变换。解：F我们可以看出引入δ-函数后，一些在普通意义下不存在的积分，有了确定的数值。工程技术上许多重要函数的傅氏变换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方便地表示出来，并且使许多变换的推导大大地简化。5．非周期函数的频谱傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模

5、F(ω)

6、称为f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这个时间函数的频谱。由于F(ω)是随ω连续变

7、化的，因而称

8、F(ω)

9、为连续频谱。例5作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。图1-8解根据定义，单个矩形脉冲的频谱函数为振幅频谱部分的频谱图如图1-9所示。图1-9振幅频谱

10、F(ω)

11、的一个性质：振幅频谱

12、F(ω)

13、是频率ω的偶函数，即事实上，所以显然有记称为f(t)的相角频谱。可看出，相角频谱是ω的奇函数，即例6求指数衰减函数的频谱。解根据例1的结果，所以指数衰减函数的频谱例7作单位脉冲函数及其频谱图。解由于所以单位脉冲函数的频谱及其频谱图表示在图1-11中。图1-11同样，当时，。而f(t)的振幅频谱为在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数

14、，它们的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。6.傅氏变换的性质本节将介绍傅氏变换的几个重要性质，我们假定在这些性质中，求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件，并设是常数。FFa.线性性质（1）F证明：只需根据定义就可推出。傅氏逆变换也具有类似的线性性质这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。（2）b.位移性质FF（3）这表明时间函数f(t)沿t轴向左向右位移t0的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子或。证由傅氏变换的定义，可知FF（令）同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即（4）这表明频谱函数沿轴向左向右位移的傅

15、氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子或。例1求矩形单脉冲的频谱函数。解1根据傅氏变换的定义，有解2前面介绍的矩形单脉冲的频谱函数为因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移得到，利用位移性质有F=F且c.微分性质若f(t)在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且当,则证由傅氏变换的定义，并利用分部积分可得这表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子。FFFF若在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且推论：则有（6）同样，可得象函数的导数公式。设，则=-j一般地，有（7）FFFFFd.积分性质如果当时，，则（8）证因为所以根

16、据微分性质：故（8）式成立。这表明：一个函数积分后的傅氏变换等于这