ch6傅里叶积分变换

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1、CH6傅里叶积分变换1、傅立叶积分3、傅立叶变换的性质傅立叶变换2、4、卷积及傅立叶变换的应用§6.1傅立叶（Fourier）积分1.主值意义下的反常积分2.Fourier积分公式1.主值意义下的反常积分定义1设函数在实轴的任何有限区间上都可积.若极限存在,则称在主值意义下在区间上的反常积分收敛,记为：由定义(1)函数在普通意义下收敛，在主值意义下必收敛，在主值意义下收敛，在普通意义下未必收敛；(2)若函数为偶函数则意义一致；例1解:2.Fourier积分公式定义2：定理1（傅里叶积分定理）：例1.求下列函数的傅里叶积分表达式.解：§6.2傅立叶（Fourier）积分变

2、换1.傅里叶积分变换的概念2.单位脉冲函数定义：1.Fourier积分变换及逆变换ℱℱ若函数为奇函数或偶函数时，积分式可改为特殊三角结构ℱℱ频谱函数例1.求下列函数的傅里叶变换.解：ℱℱ例2.求下列函数的傅里叶变换及逆变换.解：ℱ由傅里叶积分定理：练习：求下列函数的傅里叶变换.解：ℱ2.函数的概念在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中

3、,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.1）引例在原本电流为零的电路中，在时间t=0时刻进入一单位电量的脉冲，现在需要确定电流定义：满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（）其物理意义：在某时刻出现宽度无限小，幅度无限大，面积为1的脉冲1o频率振幅定理：积分中值定理ℱℱℱℱℱℱℱℱℱℱ由此得：ℱℱ例2.计算下列各式.ℱ1）ℱ2）解：ℱ2）ℱ1）练习：ℱ1）ℱ2

4、）解：ℱ1）ℱ2）ℱ=ℱ证明：ℱℱℱℱℱ§6.3傅立叶变换的性质1.线性性质2.位移性质3.微分性质4.对称性与相似性5.积分性质1.线性性质ℱℱ练习：ℱℱℱℱℱ1）ℱ2）2.位移性质ℱℱℱ证明：ℱℱ参数同理可证第二部分练习：ℱ1）ℱ2）解：ℱℱ=1）ℱ2）ℱℱ推论：ℱℱℱℱℱ3.微分性质ℱℱℱ证明：ℱℱ推论：ℱℱℱ例1：计算.ℱ1）ℱ2）ℱ3）ℱ4）练习：ℱ1）ℱ2）ℱ3）4.对称性与相似性2）相似性1）对称性ℱℱℱℱℱ变量替换例2：ℱ计算ℱ解得例3：ℱℱ求（1）ℱ（2）解：（1）ℱℱℱℱℱ（2）或：（1）ℱℱℱℱ（2）5.积分性质ℱℱ证明：ℱ练习：ℱ1）ℱ2）ℱ3）

5、ℱ4）5）ℱ1.线性性质ℱℱ2.位移性质ℱℱℱℱℱ3.微分性质4.积分性质ℱℱ§6.4卷积及傅立叶积分变换的应用1.卷积的概念2.傅里叶变换的应用1.卷积的定义及其存在性定义：例1.求下列函数的卷积.解：解：例2.求下列函数的卷积.练习：对函数解：2.卷积的性质证明：证明：3.Fourier变换的卷积定理ℱ证明：ℱℱ例3.证明Fourier变换的积分性质.ℱℱ证明：ℱℱℱℱℱℱℱℱ4.Fourier变换的应用例4.求特殊函数的积分.例5：求解下列积分方程.解：例6：一般思想为：将方程两端同时进行傅里叶变换，将微积分方程转换为代数方程，从而求解出像函数，最后通过像函数解出

6、原函数。