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1、第一章.傅里叶(Fourier)变换1.狄利克雷(Dirichlet)条件设ftR()为上的实值函数,在任何有限区间[]−ll,D上满足irichlet条件是指：(1)、ft()连续或至多有有限个第一类间断点；(2)、ft()至多有有限个极值点2.傅里叶(Fourier)级数设ftT()以=2l为周期的实值函数,在[]−ll,D上满足irichlet条件,则ft()(-,)在ll连续点处可展开t为Fourier级数:∞a⎛⎞ntππntft()=+0∑⎜⎟acos+bsin(1.1)nn2n=1⎝⎠ll∞
2、a⎛⎞ntππntft()=+0∑⎜⎟abcos+sin(1.1)nn2n=1⎝⎠ll1l其中系数a=fd(),ττ0∫l−l1lnπτ对，nf==1,2,La()cosττd,n∫ll−l1lnπτb=f()sinτdτ,n∫ll−l若为tft()的间断点,则:1[(0)(0)]ft−++ft2∞an⎛⎞ππtnt=+0∑⎜⎟abcos+sinnn2n=1⎝⎠ll问题：1、对非周期函数是否有类似的傅里叶展开？2、该如何处理？记虚数单位为j=−1,傅里叶积分定理定理若:(ftR)在内绝对可积且在任意,有限
3、区间(-,)ll内满足狄利克雷条件,则在连续点处有t1+∞+∞()[()]−jωτjtωft=∫∫fτedτedω(1.6)2π−∞−∞在间断点处有t1[(0)ftf−++(0)t]21+∞+∞−jωτjtω=∫[∫f()ττed]edω2π−∞−∞定义：(1).若ft()在内满足傅里叶积分R定理条件,称+∞ffˆ()()e−jωτdωτ=∫τ−∞为ft()的傅里叶变换(简称傅氏变换),也记作fˆ()ω=F[()]ft(2).傅里叶逆变换定义为1+∞ˆjt−1[()]fˆωf()tf=F=ω∫()ωedω
4、2π−∞ft()fˆ()(3).称为象原函数,ω称为象函数(4).在不考虑间断点的取值时,f()t与fˆ()ω在傅里叶变换下是一一对应的,称与构ftf()ˆ()ω成个一傅里叶变换对,ft()fˆ()记为↔ω注：(1).积分定理中出现ft()的广义积分,均按照柯西主值意义下取值即,+∞N∫∫ftdt()=limftdt()−∞N→+∞−N(2).傅里叶积分定理可推广到维情形.n例题1：求单边指数衰减函数−βt⎧et,0≥ft()=⎨,(为常数)β⎩0,t<0的傅氏变换,并利用傅氏积分公式证明⎧0,t<0+∞
5、βωωωcostt+sin⎪dtωπ=⎨/2,=0∫022+βω⎪−βt⎩πet,0>解：由定义有+∞fˆ()ftedt()−jtωω=∫−∞+∞∞+−βt−−jtωβ()+jtω==∫∫eedtdet00+∞−1−+()βωjt=−+()βωjed∫[−+()βjωt]0β−jω=22β+ω由傅氏积分定理有ˆ1+∞ˆjt−1ffedωF[()ω]=∫()ωω−∞2π1+∞βω−jjtedω=ω∫−∞222πβω+1+∞βcosωωωt+sint=dω∫022πβ+ω⎧f(),tt≠0=⎨−1⎩2[(0)
6、fft−++(0)],=0问题：傅氏变换后再作傅氏变换会得到什么？对fˆ()ω再作一次傅氏变换,(1).当−tft为()的连续点时,ˆˆˆ+∞ˆjtfffed−ω()ω=F[()]ωω=∫()ω−∞1+∞ˆjtω()−2()ft=2[πω∫fed()ω]=π−−∞2π(2).当−tft为()的间断点时,ˆˆˆˆ+∞jtf()[()]ff()e−ωdω=Fωω=∫ω−∞=−π[(ft−0)+ft(−+0)]ˆˆˆ称f()[()]2()ωω=Fff=π−t为傅氏对称公式两个傅里叶变换对⎪⎧ft()↔fˆ()ω
7、⎨⎪⎩ftˆ()↔−2πωf()(由对称公式)例题2：(1).求矩形脉冲函数的傅氏变换⎧1,
8、
9、ta≤ft()=⎨,(为正常数)a⎩0,
10、
11、ta>(2).用傅氏积分公式证明⎧π/2,
12、ta
13、<+∞1⎪∫sinatωωωπcosd=⎨/4,
14、t
15、0=0ω⎪⎩0,
16、ta
17、>−1(3).用对称公式求gt()()sin=πtat傅氏变换解：(1).由定义有+∞fˆ()ftedt()−jtωω=∫−∞a−jtω=∫edt−aa−1−jtω=−()jω∫ed()−jωt−a2sinaω=ω(2)由傅氏积分定理有−1ˆ
18、1+∞ˆjt[()ff]()edωFω=∫ωω2π−∞12+∞sinaωjtω=∫edω2π−∞ω1+∞1j+∞1=+∫∫sinatωcosωωdωsinasinωtdω−∞−∞πωπω⎧⎪f(),tt
19、
20、≠a=⎨−1⎪⎩2[(f±af−+±+0)(at0)],
21、
22、=a由奇、偶函数的积分性质可知11+∞j+∞1∫∫sinatωωcosddω+sinaωωsintω−∞−∞πωπω⎧1,
23、
24、ta<21+∞⎪==∫sinaωωωc
