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1、第五节函数的极值与最大最小值一、函数极值的定义二、函数极值的求法三、最大值最小值问题四、小结作业1一、函数极值的定义2函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义设函数f(x0)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U(x0)内的任一x,有f(x)f(x0)),那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).o3函数的极大值、极小值是局部性的.在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的4二、函数极
2、值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,5定理2(第一充分条件)设f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域内可导.(是极值点情形)6(不是极值点情形)注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例y=
3、x
4、极小值点x=0但x=0是y=
5、x
6、的不可导点.驻点和不可导点统称为可疑极值点7求极值的步骤:以及不可导点；(4)求出各极值点的函数值,就得函数f(x)的全部极值.8例解列表讨论极大值极小值9例.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为10例解11定理3(
7、第二充分条件)证同理可证(2).12例解13注仍用第一充分条件定理3(第二充分条件)不能应用.事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.如,在x=0处分别属于上述三种情况.14例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.15定理4(判别法的推广)若函数在的邻域内，存在且有界,则:1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得16例如,例2中所以
8、不是极值点.极值的判别法(定理2~定理4)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.17三、最大值最小值问题18求最大值最小值的步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大的就是f(x)在区间[a,b]上的最大值,最小的就是最小值.19特别注意:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小
9、)20解例求函数在闭区间[0,3]上的最大值与最小值.先求出驻点与不可导点不可导点：令得驻点比较不可导点，驻点以及区间端点的函数值：最大值为：最小值：21实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;22(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小值点,问Km,公路,23例
10、5.光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播.一束光线由空气中A点经过水面到达B点,已知光在空气中和水中的传播速度分别为和试确定光线传播的路径.解:建立坐标系(如图),光从A点到B点所需的时间为24又在[0,l]上连续,由介值定理,在(0,l)内存在唯一的零点且是在(0,l)内的唯一极小值点,从而也是[0,l]上的最小值点.而由得于是（折射定律）25例6.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻
11、点只一个,故所求结果就是最好的选择.26用开始移动,例7.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力作解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?27令解得而因而F取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.28清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例8.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处
12、看图才最29四、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为可疑极值点.函数的极值必在可疑极值点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)30思考与练习1.设则在点a
