等差数列、等比数列的综合.doc

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1、等差数列、等比数列的综合1.等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。该公式整理后是关于n的一次函数。等差数列的前n项和：①②对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数。2.等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的

2、通项为，或者。等比数列的前n项和：①②③当时，。当时，前n项和必须具备的形式。等差数列、等比数列是数列中的两种特殊数列。在处理等差与等比数列的综合题时，要注意灵活运用它们的定义、性质，对于等比数列还要注意公比的讨论。等差、等比数列又是基本数列，往往结合起来出题，主要应用函数与方程、分类讨论、化归、整体等思想来解题。例题1已知{an}是公比为q的等比数列，且a6，a4，a2成等差数列，则q＝（）A.－2B.±2C.－1D.±1解析：此类问题一般依据条件和等差（比）数列的通项（或前n项和）公式列方程求解。解方程时，注意等比数列的首

3、项和公比都不能为0。答案：由题意得2a4＝a6＋a2，即2a1q3＝a1q5＋a1q，又a1≠0，q≠0，因此q4－2q2＋1＝0，由此解得q＝±1。故选D。例题2如图，（n≥4）个正数排成n行n列方阵，其中每一行的数都成等差数列，每一列的数都成等比数列，并且所有公比都等于q，若a11＝，a24＝1，a14＝2。a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……………an1an2an3…ann（1）求公比q的值；（2）求a1k（1≤k≤n）；解析：（1）在该方阵中，每一列的数都成等比数列，并且所有公比都等于q，a14＝2

4、，a24＝1，所以q＝。2（2）在该方阵中，每一行的数都成等差数列，a11＝，a14＝a11＋3d1＝2，∴数列{a1k}的公差d1＝，∴a1k＝＋（k－1）×＝。满分训练在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列。（1）求d，an；（2）若d<0，求

5、a1

6、＋

7、a2

8、＋

9、a3

10、＋…＋

11、an

12、。解析：（1）由题意得a1·5a3＝（2a2＋2）2，即d2－3d－4＝0。所以d＝－1或d＝4。所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*。（2）设数列{an}的前n项和为Sn。因

13、为d<0，由（1）得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，

14、a1

15、＋

16、a2

17、＋

18、a3

19、＋…＋

20、an

21、＝－n2＋n。当n≥12时，

22、a1

23、＋

24、a2

25、＋

26、a3

27、＋…＋

28、an

29、＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110。综上所述，

30、a1

31、＋

32、a2

33、＋

34、a3

35、＋…＋

36、an

37、＝点拨：等差数列、等比数列是数列中的两种特殊数列。在处理等差与等比数列的综合题时，要注意灵活运用它们的定义、性质，近几年高考对数列的综合应用的要求有所降低，但还是必考内容，我们更容易得分。2