欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:51331503
大小:294.24 KB
页数:23页
时间:2020-03-21
《2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用学案.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 椭圆方程及性质的应用探究点1 直线与椭圆的位置关系 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点.【解】 直线l的方程与椭圆C的方程联立,消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0.①方程①的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)当Δ>0,即-32、.判断直线与椭圆的位置关系的方法[注意] 注意方程组的解与交点个数之间的等价关系. 直线l:y=x+2与椭圆2x2+3y2=6的位置关系为________(填相交、相切或相离).解析:由得2x2+3=6,即x2+2x+6=0.Δ=(2)2-4××6=24-60=-36<0.因此直线与椭圆没有公共点.答案:相离探究点2 直线与椭圆的相交弦问题 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度;(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.【解】 (1)由已知可得直线l的方程为y-2=(x-4),即y=x.由可得x2-18=0,若3、设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=0,x1x2=-18.于是4、AB5、====×6=3.所以线段AB的长度为3.(2)法一:易知直线l的斜率存在,不妨设为k,则其方程为y-2=k(x-4).联立消去y得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0.若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,由于AB的中点恰好为P(4,2),所以==4,解得k=-,且满足Δ>0.这时直线的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得+=0,整理得kAB==-,由于P(4,2)是AB的中点,所以x16、+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=-=-,于是直线AB的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.[变问法]试求满足条件(2)的线段AB的长度.解:由(2)知直线AB的方程为y=-x+4,由得x2-8x+14=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=14,由弦长公式可得7、AB8、===,所以线段AB的长度为.(1)直线与椭圆相交弦长的求法①直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.②求弦长的公式:设直线l的斜率为k,方程为y=kx+b,设端点A(x1,y1),B(x2,y2).则9、AB10、==·.(2)解决11、椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则由〈1〉-〈2〉,得(x-x)+(y-y)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-. 1.已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆交于A,B两点,则12、AB13、=____________.解析:因为直线l经过椭14、圆的右焦点F1(1,0),且斜率为2,则直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.由,得3x2-5x=0.解得,.15、AB16、==.答案:2.已知椭圆+=1,求过点Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.解:设椭圆中弦的两端点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2),弦AB的中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.因为A、B两点均在椭圆上,故有x+4y=16,x+4y=16.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).因为x1≠x2,所以kAB==-=-.由kAB=kRQ得,-=,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y17、-1)2=20.探究点3 与椭圆有关的最值或范围问题 已知椭圆4x2+y2=1,直线y=x+m,设直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.【解】 可求得O到AB的距离d=,将y=x+m代入4x2+y2=1,消y得5x2+2mx+m2-1=0.又18、AB19、=,Δ=20-16m2>0,-<m<,所以S△AOB=20、AB21、·d=×·=≤·
2、.判断直线与椭圆的位置关系的方法[注意] 注意方程组的解与交点个数之间的等价关系. 直线l:y=x+2与椭圆2x2+3y2=6的位置关系为________(填相交、相切或相离).解析:由得2x2+3=6,即x2+2x+6=0.Δ=(2)2-4××6=24-60=-36<0.因此直线与椭圆没有公共点.答案:相离探究点2 直线与椭圆的相交弦问题 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度;(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.【解】 (1)由已知可得直线l的方程为y-2=(x-4),即y=x.由可得x2-18=0,若
3、设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=0,x1x2=-18.于是
4、AB
5、====×6=3.所以线段AB的长度为3.(2)法一:易知直线l的斜率存在,不妨设为k,则其方程为y-2=k(x-4).联立消去y得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0.若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,由于AB的中点恰好为P(4,2),所以==4,解得k=-,且满足Δ>0.这时直线的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得+=0,整理得kAB==-,由于P(4,2)是AB的中点,所以x1
6、+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=-=-,于是直线AB的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.[变问法]试求满足条件(2)的线段AB的长度.解:由(2)知直线AB的方程为y=-x+4,由得x2-8x+14=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=14,由弦长公式可得
7、AB
8、===,所以线段AB的长度为.(1)直线与椭圆相交弦长的求法①直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.②求弦长的公式:设直线l的斜率为k,方程为y=kx+b,设端点A(x1,y1),B(x2,y2).则
9、AB
10、==·.(2)解决
11、椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则由〈1〉-〈2〉,得(x-x)+(y-y)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-. 1.已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆交于A,B两点,则
12、AB
13、=____________.解析:因为直线l经过椭
14、圆的右焦点F1(1,0),且斜率为2,则直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.由,得3x2-5x=0.解得,.
15、AB
16、==.答案:2.已知椭圆+=1,求过点Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.解:设椭圆中弦的两端点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2),弦AB的中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.因为A、B两点均在椭圆上,故有x+4y=16,x+4y=16.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).因为x1≠x2,所以kAB==-=-.由kAB=kRQ得,-=,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y
17、-1)2=20.探究点3 与椭圆有关的最值或范围问题 已知椭圆4x2+y2=1,直线y=x+m,设直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.【解】 可求得O到AB的距离d=,将y=x+m代入4x2+y2=1,消y得5x2+2mx+m2-1=0.又
18、AB
19、=,Δ=20-16m2>0,-<m<,所以S△AOB=
20、AB
21、·d=×·=≤·
此文档下载收益归作者所有