2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用学案 (2).docx

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1、第2课时椭圆方程及性质的应用探究点1直线与椭圆的位置关系已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点．【解】直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．①方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．(1)当Δ>0，即－3

2、可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．判断直线与椭圆的位置关系的方法[注意]注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．直线l：y＝x＋2与椭圆2x2＋3y2＝6的位置关系为________(填相交、相切或相离)．解析：由得2x2＋3＝6，即x2＋2x＋6＝0．Δ＝(2)2－4××6＝24－60＝－36<0．因此直线与椭圆没有公共点．答案：相离探究点2直线与椭圆的相交弦问题已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)

3、当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．【解】(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x．由可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18．于是AB＝＝＝＝×6＝3．所以线段AB的长度为3．(2)法一：易知直线l的斜率存在，不妨设为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0．若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以＝＝4，

4、解得k＝－，且满足Δ>0．这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4．法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＋＝0，整理得kAB＝＝－，由于P(4，2)是AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－＝－，于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4．[变问法]试求满足条件(2)的线段AB的长度．解：由(2)知直线AB的方程为y＝－x＋4，由得x2－8x＋14＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝14，由弦长公式可得AB＝＝＝，

5、所以线段AB的长度为．(1)直线与椭圆相交弦长的求法①直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．②求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则AB＝＝·．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系

6、，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由〈1〉－〈2〉，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－．1．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则AB＝____________．解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1，0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．由，得3x2－5x＝0．解得，．AB＝＝．答案：2．已知椭圆＋＝1，求过点Q(8，2)的直

7、线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设椭圆中弦的两端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为R(x，y)，则2x＝x1＋x2，2y＝y1＋y2．因为A、B两点均在椭圆上，故有x＋4y＝16，x＋4y＝16．两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)．因为x1≠x2，所以kAB＝＝－＝－．由kAB＝kRQ得，－＝，得所求轨迹方程为(x－4)2＋4(y－1)2＝20．探究点3与椭圆有关的最值或范围问题已知椭圆4x2＋y2＝1，直线y＝x＋m，设直线与椭圆相交于

8、A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．【解】可求得O到AB的距离d＝，将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消y得5x2＋2mx＋m2－1＝0．又AB＝，Δ＝20－16m2＞0，－＜m＜，所以S△AOB＝AB·d＝×·＝≤·＝．当且仅当“－m2＝m2”时，上式取“＝”．此时m＝±